a: góc FEQ=góc FMQ=90 độ

=>FMEQ nội tiếp

Tam I là trung điểm của FQ

Áp dụng HTL trong tam giác MNQ vuông tại Q:

\(MQ^2=QH.QN\)

\(\Rightarrow QH=\dfrac{MQ^2}{QN}=\dfrac{12^2}{20}=7,2\)

Áp dụng đ/lý Pytago:

\(QN^2=MN^2+MQ^2\)

\(\Rightarrow MN=\sqrt{QN^2-MQ^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\)

Áp dụng HTL:

\(MN^2=NH.QN\)

\(\Rightarrow NH=\dfrac{MN^2}{QN}=\dfrac{16^2}{20}=12,8\)

a: Xét ΔNKH vuông tại K và ΔNMQ vuông tại M có

\(\widehat{N}\) chung

Do đó: ΔNKH~ΔNMQ

b: Xét ΔQMN có

H là trung điểm của QN

HK//QM

Do đó: K là trung điểm của MN

Xét ΔQMN có

H là trung điểm của QN

HE//MN

Do đó: E là trung điểm của QM

Xét tứ giác MKHE có \(\widehat{MKH}=\widehat{MEH}=\widehat{EMK}=90^0\)

nên MKHE là hình chữ nhật

=>HK=EM và MK=EH

ta có: HK=EM

EM=EQ

Do đó: HK=EM=EQ

Ta có: MK=EH

MK=KN

Do đó: EH=MK=KN

Xét ΔEMK vuông tại M và ΔHKN vuông tại K có

EM=HK

MK=KN

Do đó: ΔEMK=ΔHKN

=>ΔEMK~ΔHKN

a: Xét ΔMQN và ΔMQP có

MQ chung

QN=QP

MN=MP

=>ΔMQN=ΔMQP

b: Xét ΔMNA và ΔMBP có

MN=MP

góc N=góc P

NA=PB

=>ΔMNA=ΔMBP

a) Xét \(\Delta MNK\left(\widehat{M}=90^o\right)\) và \(\Delta QNK\left(\widehat{Q}=90^o\right)\) có:

\(\widehat{MNK}=\widehat{QNK}\) (giả thiết)

\(NK\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta MNK=\Delta QNK\left(ch.gn\right)\)

b) Vì \(\Delta MNK=\Delta QNK\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MN=QN\) (\(2\) cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta MNQ\) cân tại \(N\)

Mà \(\widehat{MNQ}=60^o\)

\(\Rightarrow\Delta MNQ\) đều

Vì \(NK\) là tia phân giác \(\widehat{MNP}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\widehat{MNK}=\widehat{QNK}=\dfrac{\widehat{MNP}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o=\widehat{NPK}\)

\(\Rightarrow\Delta NKP\) cân tại \(K\)

c) Vì \(\Delta NMQ\) đều (chứng minh trên)

\(\Rightarrow NM=MQ=NQ=8cm\)

Xét \(\Delta NMP\left(\widehat{M}=90^o\right)\) có:

\(PN=2MN=2.8=16cm\)

\(\Rightarrow PQ=16-8=8cm\)

a: Xét ΔMNK vuông tại M và ΔQNK vuông tại Q có

NK chung

\(\widehat{MNK}=\widehat{QNK}\)

Do đó: ΔMNK=ΔQNK

b: Ta có: ΔMNK=ΔQNK

nên NM=NQ

=>ΔNMQ cân tại N

mà \(\widehat{MNQ}=60^0\)

nên ΔMNQ đều

Xét ΔNKQ có 

\(\widehat{KPN}=\widehat{KNP}\)

nên ΔNKQ cân tại K

c: Xét ΔMNP vuông tại M có 

\(\cos N=\dfrac{MN}{NP}\)

=>NP=16(cm)

=>\(MP=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)

MP=4cm

\(\widehat{N}=53^0;\widehat{P}=37^0\)

Nối M với E ta có:

Diện tích tam giác MNQ là:

 20 x 21 : 2 = 210 (cm2)

Vì QE song song với MK

=> Diện tích tam giác MQE là:

 20 x 5,25 : 2 = 52,5 (cm2) 

Diện tích tam giác MEN là:

210 - 52,5 = 157,5 (cm2)

Chiều cao KE là:

157,5 x 2 : 21 = 15 (cm)

\(QH=\sqrt{4\cdot12}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(QM=\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^2+4^2}=8\left(cm\right)\)

\(QN=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(QH=\sqrt{4\cdot12}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

QM=8(cm)

\(QN=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)