a) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {10;2} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.10 + ( - 5).2 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}} \)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 9 = 0\\10x + 2y + 7 = 10\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{{52}}\\y = \frac{{93}}{{52}}\end{array} \right.\)

Suy ra hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\left( { - \frac{3}{{52}};\frac{{93}}{{52}}} \right)\)

b) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3, - 4} \right)\)

\(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(3.1 - 4.1 + 9 = 8 \ne 0\), suy ra A không thuộc đường thẳng \({d_1}\)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) song song

c) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {6; - 8} \right)\)

Ta có \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 3.( - 8) - ( - 4).6 = 0\)suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 5 + 4t\\1 = 4 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 1\), suy ra A thuộc đường thẳng \({d_1}\)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 1\end{array} \right.\)

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau tại điểm có tọa độ \(( - 3; - 1)\)

b) Đường thẳng \({d_1}\) có phương trình tổng quát là: \({d_1}:2x - y + 1 = 0\)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - 3y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{5}\\y = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{3}{5}} \right)\) và góc giữa chúng là \(45^\circ \)

c) Đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có phương trình tổng quát là:

\({d_1}:3x + y - 11 = 0,{d_2}:x - 3y + 8 = 0\)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 11 = 0\\x - 3y + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right.\)

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1} \right)\)

Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.3 + \left( { - 2} \right).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \)

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;5} \right)\)

Ta có \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 5.1 + ( - 1).5 = 0\)

Suy ra \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \)

c) Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; 4} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2} \right)\)

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.1+4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{ { 4} }^2}} \sqrt {{1^2} + {{{ 2}}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 0^\circ \)

a) Xét hệ \(\left\{{}\begin{matrix}4x-10y+1=0\\x+y+2=0\end{matrix}\right.\)

D = 4.1 = 10.1 = -6 ≠ 0

Vậy d₁ và d₂ cắt nhau

b) Tương tự, ta có: d₁ :\(12x-6y+10=0\) ;

d₂= \(2x-y-7=0\)

D = 12 . (-1) - (-6).2 = -12 + 12 = 0

Dx = (-6) . (-7) - (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0

Vậy d₁ // d₂

c) Tương tự, ta có d₁: \(8x+10y-12=0\)

d₂:\(4x+5y-6=0\)

D = 8 . 5 - 4 . 10 = 0

Dx = 10. (-6) - (-12) . 5 = 0

D_y = (-12) . 4 - (-6) . 8 = 0

Vậy d₁ trùng d_2.

a) Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\)

Suy ra: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^o}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 3} \right)\)

Suy ra: \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 4.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}\)

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 5 = 0\\x - 4y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{7}\\y = \frac{4}{7}\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên 2 đường thẳng cắt nhau.

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_3},{d_4}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\ - 2x + 4y + 10 = 0\end{array} \right.\) .

Hệ phương trình vô nghiệm.nên 2 đường thẳng song song với nhau

c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_5},{d_6}\) tương ứng với t thỏa mãn phương trình:

\(4\left( { - \frac{1}{2} + t} \right) + 2\left( {\frac{5}{2} - 2t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 0t = 0\) .

Phương trình này có nghiệm với mọi t. Do đó \({d_5} \equiv {d_6}\).

a) Ta có: \({\Delta _1}:3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y - \sqrt 6  = 0\)

Do đó hai đường thẳng trùng nhau.

b) Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{{ - 3}} \ne \frac{2}{2}\), do đó hai đường thẳng song song với nhau.

c) Ta có: \(\frac{1}{3} \ne \frac{{ - 2}}{1}\), do đó hai đường thẳng cắt nhau. 

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;2} \right)\). Ta thấy, \(\overrightarrow {{u_2}}  = 2\overrightarrow {{u_1}} \).

Chọn điểm \(A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _1}\). Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\) ta được \({t_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _2}\).

Vậy 2 đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.