a) Xét ΔCAE vuông tại A và ΔCKE vuông tại K có 

CE chung

\(\widehat{ACE}=\widehat{KCE}\)(CE là tia phân giác của \(\widehat{ACK}\))

Do đó: ΔCAE=ΔCKE(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: CA=CK(hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: ΔCAE=ΔCKE(cmt)

nên AE=KE(Hai cạnh tương ứng)

mà EB>EK(ΔEKB vuông tại K có EB là cạnh huyền nên EB là cạnh lớn nhất)

nên EB>EA(Đpcm)

c) Xét ΔAEH vuông tại A và ΔKEB vuông tại K có 

EA=EK(cmt)

\(\widehat{AEH}=\widehat{KEB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAEH=ΔKEB(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

Suy ra: AH=KB(hai cạnh tương ứng)

Ta có: CA+AH=CH(A nằm giữa C và H)

CK+KB=CB(K nằm giữa C và B)

mà CA=CK(cmt)

và AH=KB(cmt)

nên CH=CB

Xét ΔCBH có CH=CB(Cmt)

nên ΔCBH cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)

a) Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có 

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\))

Do đó: ΔACE=ΔAKE(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AC=AK(hai cạnh tương ứng) và EC=EK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AC=AK(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: EC=EK(cmt)

nên E nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của CK

hay AE⊥CK(đpcm)

b) Ta có: ΔABC vuông tại C(gt)

nên \(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EBA}=90^0-60^0=30^0\)(3)

Ta có: AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\)(gt)

nên \(\widehat{EAB}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

Xét ΔEBA có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)(cmt)

nên ΔEBA cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Xét ΔEKA vuông tại K và ΔEKB vuông tại K có 

EA=EB(ΔEBA cân tại E)

EK chung

DO đó: ΔEKA=ΔEKB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: KA=KB(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: ΔEKB vuông tại K(gt)

nên EB là cạnh lớn nhất(EB là cạnh huyền)

hay EB>EK

mà EK=EC(cmt)

nên EB>EC(đpcm)

C1 :

Hình : tự vẽ 

a )Vì CA=CB ( đề bài cho ) => tam giác ABC cân tại C

                                       mà CI vuông góc vs AB => CI là đường cao của tam giác ABC 

=> CI cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC ( t/c tam giác cân )

=> IA=IB (đpcm)

C1 : 

b) Có IA=IB ( cm phần a ) 

mà IA+IB = AB 

      IA + IA = 12 (cm)

=> IA = \(\frac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

Xét tam giác vuông CIA có :     CI²  +   IA²  = CA²  ( Đ/l Py-ta -go )

                                                   CI² +  6²     = 10²

                                                          CI²       = 10²  - 6² = 64

=> CI = \(\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

Vậy CI ( hay IC ) = 8cm

a) Xét \(\Delta\)ACE và \(\Delta\)KCE có: CE chung; ^ACE = ^KCE ( CE là phân giác ^ACB); ^EAC = ^EKC = 90^o 

=> \(\Delta\)ACE = \(\Delta\)KCE ( cạnh huyền - góc nhọn ) (1)

=> CA = CK 

b) (a) => C thuộc đường trung trực của AK 

(1) => EA = EK => E thuộc đường trung trực của AK 

=> CE là đường trung trực của AK 

c) Xét \(\Delta\)ACB có ^A = 90^o ; ^C=60^o => ^B = 30^o 

=> ^EBK = 60^o

Mặt khác: ^KCE = ^ACE = ^ACB : 2 = 30^o 

=> ^EBC = ^ECB 

=> \(\Delta\)BEC cân tại E 

d) Gọi T là giao điểm của CA và BI 

Xét \(\Delta\)TCB có BA vuông CT; CI vuông TB 

mà CI cắt BA tại E 

=> E là trực tâm của \(\Delta\)TCB 

=> TE vuông BC mà EK vuông BC 

=> T; E; K thẳng hàng 

=> CA; KE; BI đồng quy tại T 

Hình ko biết vẽ 

a/ Xét hai tam giác vuông ABI và EBI có:

góc ABI = góc EBI (BI là pg góc ABC)

BI: cạnh chung

=> tam giác ABI = tam giác EBI

=> BA = BE

Mà góc ABC = 600

=> tam giác BAE đều.

b/ Ta có: tam giác ABC vuông tại A

=> góc B + góc C = 900

hay 600 + góc C = 900

=> góc C = 300

Ta lại có: BI là pg góc ABC

=> góc ABI = góc IBC = 600 / 2 = 300

=> góc IBC = góc ICB = 300

=> tam giác IBC cân tại I

Mà IE là đường cao của tam giác IBC

=> IE cũng là trung tuyến của tam giác IBC

=> EB = EC (đpcm)

c/ Trong tam giác ABI vuông tại A

=> góc A > góc I

=> IB > AB

Trong tam giác ICE vuông tại E :

=> góc E > góc I

=> IC > EC

Ta có: IB > AB; IC > EC

=> IB + IC > AB + EC (đpcm).

d/ Ta có: BM là đường cao của tam giác BKC

Ta có: CA là đường cao của tam giác BKC

Mà BM cắt CA tại I

=> I là trực tâm của tam giác BKC

KE là đường cao còn lại của tam giác BKC (KE vuông góc BC)

=> I thuộc KE

=> K; I; E thẳng hàng.

a) Ta có : AB² = 5² = 25 cm

Mà AC² + BC² = 4² + 3² = 15 + 9 = 25cm

=> AB² = AC² + BC² 

=> ∆ABC vuông tại C 

b) Xét ∆ vuông ACE và ∆ vuông AKE ta có : 

AE chung 

CAE = BAE ( AE là phân giác CAB )

=> ∆ACE = ∆AKE ( ch-gn)

=> AC = AK = 3cm

Mà AK + KB = AC 

=> KB = 5 - 3 = 2cm

c ) Xét ∆ vuông KEB ta có :

KE < EB ( Quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông) 

Mà ∆ACE = ∆AKE (cmt)

=> CE = EK 

=> EC< EB 

d) Vì ∆ACE = ∆AKE (cmt)

=> AC = AK 

=> ∆ACK cân tại A 

Xét ∆ vuông ECD và ∆ vuông CKB ta có : 

CE = EK (cmt)

KEB = CED ( đối đỉnh) 

=> ∆ECD = ∆CKB (cgv -gn)

=> CD = KB ( tương ứng) 

Mà AC + CD = AD 

AK + KB = AB 

=> AD = AB 

=> ∆ABD cân tại A

Vì ∆ACK cân tại A (cmt)

=> ACK = \(\frac{180°\:-\:CaB}{2}\)

Vì ∆ABD cân tại A 

=> ADC = \(\frac{180°\:-\:CAB}{2}\)

=> ADC = ACK 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

=> CK //DB 

a, AB = 5 => AB^2 = 5^2 = 25

AC = 3 => AC^2 = 3^2 = 9

BC = 4 => BC^2 = 4^2 = 16

=> AC^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 = AB^2

=> tam giác ABC vuông tại C (đl Pytago đảo)

b,