Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Một người bình thường vô...

Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A=60 độ. Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Hạ EK vuông góc với AB. Hạ BD vuông góc với AE. Chứng minh rằng:

a) AC=AK và AE vuông góc với CK.

b) KA=KB.

c) EB>EC

d) Ba đường thẳng AC, BD, KE đồng quy

( Không cần phải vẽ hình đâu nha, ai thích vẽ thì vẽ cho dễ làm.)

Nguyễn Lê Phước Thịnh
27 tháng 6 2021 lúc 21:50

a) Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có 

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\))

Do đó: ΔACE=ΔAKE(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AC=AK(hai cạnh tương ứng) và EC=EK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AC=AK(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: EC=EK(cmt)

nên E nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của CK

hay AE⊥CK(đpcm)

b) Ta có: ΔABC vuông tại C(gt)

nên \(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EBA}=90^0-60^0=30^0\)(3)

Ta có: AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\)(gt)

nên \(\widehat{EAB}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

Xét ΔEBA có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)(cmt)

nên ΔEBA cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Xét ΔEKA vuông tại K và ΔEKB vuông tại K có 

EA=EB(ΔEBA cân tại E)

EK chung

DO đó: ΔEKA=ΔEKB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: KA=KB(hai cạnh tương ứng)

Nguyễn Lê Phước Thịnh
27 tháng 6 2021 lúc 21:51

c) Ta có: ΔEKB vuông tại K(gt)

nên EB là cạnh lớn nhất(EB là cạnh huyền)

hay EB>EK

mà EK=EC(cmt)

nên EB>EC(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
le thi phuong
Xem chi tiết
Đào Thanh Huyền
Xem chi tiết
Chi Chi
Xem chi tiết
Thu It
Xem chi tiết
Nguyen Thi Xuan
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hương Giang
Xem chi tiết
nguyễn khánh linh
Xem chi tiết
Yến Sún
Xem chi tiết
Anh Cao Ngọc
Xem chi tiết