Mình cũng chưa hiểu lắm! Để mình nghĩ đã! Mình là học sinh chuyên Toán nên sẽ nghĩ ra sơm thôi! Đợi chút nhé

1)

Xét 2004 số đề kết thúc là 4 chữ số 2002 :

20022002; 200220022002 ; ...;  20022002...2002

                                               | 2005 cụm 2002 |

Có 2004 số; mà khi chia cho 2003 chỉ có thể có 2003 số dư nên theo nguyên lý Đi-ríc-lê; có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 2003; thì hiệu chúng sẽ là bội của 2003.

Gọi 2 số đó là 20022002...2002; 200220022002...2002

                     | n cụm 2002 |           |m cụm 2002|      \(\left(2\le n< m\le2005\right)\)và m,n là các số tự nhiên.

Suy ra : 

                     200220022002...2002 - 20022002...2002 chia hết cho 2003

                        | m cụm 2002 |            | n cụm 2002 |

= 20022002...200220020000000...0000  chia hết cho 2003

   | m - n cụm 2002 |     | 4n chữ số 0 |

\(\Rightarrow200220022002...2002.10^{4n}\)  chia hết cho 2003

        | m - n cụm 2002 | 

Mà (10;2003) = 1 nên (10⁴ⁿ;2003)=1

Suy ra 200220022002...2002 chia hết cho 2003

             | m - n cụm 2002 | 

Số này kết thúc là ...2002

2)

Xét 1001 số từ 4⁵ ( vì 4⁵ là lũy thừa nhỏ nhất của 4 có 3 chữ số )

4⁵ ; 4⁶ ; ...; 4¹⁰⁰⁵ .

Theo nguyên lý Điríclê; trong 1001 số này có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 1000 ; tức là 2 số đó có 3 chữ số tận cùng giống nhau.

aaaaaa= a.111111=a.7.15873

vì 7 chia hết cho 7

=> aaaaaa chia hết cho 7

aaaaaa=a.111111

suy ra a.7.15873

suy ra 7 chia hết cho 7

nên aaaaaa chia hết cho 7

aaaaaa = a. 111111   = a .15873.7  =(a.15873) . 7  luôn chia hết cho 7 

a) Các số nguyên tố lớn hơn 5 sẽ có tận cùng là: 1, 3, 7.
Như vậy trong 5 số nguyên tố lớn hơn 5 sẽ có ít nhất hai có cùng chữ số tận cùng, suy ra hiệu hai số này chia hết cho 10.
b) Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\) (a,b là số nguyên tố).
Theo bài ra ta có: \(\overline{ab}.a.b=\overline{aaa}\) \(\Leftrightarrow\overline{ab}.a.b=b.111\) \(\Leftrightarrow\overline{ab}.a=3.37\).
Suy ra \(\hept{\begin{cases}a=3\\b=7\end{cases}}\).

a) Xét hiệu : \(n^5-n\)

Đặt : \(A\text{=}n^5-n\)

Ta có : \(A\text{=}n.\left(n^4-1\right)\text{=}n.\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(A\text{=}n.\left(n+1\right).\left(n-1\right).\left(n^2+1\right)\)

Vì : \(n.\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp .

\(\Rightarrow A⋮2\)

Ta có : \(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(A\text{=}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n.\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\\5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\end{matrix}\right.\) vì tích ở trên là tích của 5 số liên tiếp nên chia hết cho 5.

Do đó : \(A⋮10\)

\(\Rightarrow A\) có chữ số tận cùng là 0.

Suy ra : đpcm.

b) Vì \(n⋮3̸\) nên n có dạng : \(3k+1hoặc3k+2\left(k\in N\right)\)

Với : n= 3k+1

Thì : \(n^2\text{=}9k^2+6k+1\)

Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.

Với : n=3k+2

Thì : \(n^2\text{=}9k^2+12k+4\text{=}9k^2+12k+3+1\)

Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.

Suy ra : đpcm.

Để chứng minh rằng luôn chọn được từ mỗi nhóm một số sao cho hai số được chọn có ít nhất 1 chữ số giống nhau, ta sẽ sử dụng nguyên lý "Ngăn chặn trực tiếp" (Pigeonhole principle).

Giả sử chúng ta chia các số từ 1 đến n thành hai nhóm tùy ý, mỗi nhóm chứa một nửa số. Vì n lớn hơn hoặc bằng 19, chúng ta có ít nhất 10 số trong mỗi nhóm.

Xét các chữ số hàng đơn vị của các số từ 1 đến n. Chúng ta có 10 chữ số hàng đơn vị khác nhau từ 0 đến 9. Vì vậy, trong mỗi nhóm, chắc chắn sẽ có ít nhất một số có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

Do đó, luôn chọn được từ mỗi nhóm một số sao cho hai số được chọn có ít nhất 1 chữ số giống nhau.

Tuy nhiên, bài toán không đúng với n = 18. Khi n = 18, chúng ta có thể chia các số từ 1 đến 18 thành hai nhóm sao cho mỗi nhóm không có số nào có chữ số hàng đơn vị giống nhau. Ví dụ: nhóm 1 chứa các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và nhóm 2 chứa các số 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

lam sau de mua the mien phi

toan lop 6 day ha???
 

gớm nữa bài này cũng phải hỏi

Gọi số đó là \(\overline{aaaaaa}\)

*) Tổng các chữ số của số trên là 6a ⋮ 3

\(\Rightarrow\overline{aaaaaa}⋮3\) (1)

*) \(\overline{aaaaaa}\)

\(=a.100000+a.10000+a.1000+a.100+a.10+a\)

\(=a\left(100000+10000+1000+100+10+1\right)\)

\(=a.111111⋮11\)

=> \(\overline{aaaaaa}⋮11\) (2)

Lại có: 11 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau (3)

Từ (1); (2); (3) => \(\overline{aaaaaa}⋮33\)

 oho