tham khảo

Vì P ( x ) = ax2ax2 + bx + c chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x nên :

P ( 0 ) ; P ( 1 ) ; P ( - 1 ) tất cả đều chia đều cho 5 .

Ta có :

P ( 0 ) chia hết cho 5

⇒ a . 0²+ b . 0 + c chia hết cho 5

⇒ c chia hết cho 5

P ( 1 ) chia hết cho 5

⇒ a . 1² + b . 1 + c chia hết cho 5

⇒ a + b + c chia hết cho 5

Vì c chia hết cho 5 ⇒ a + b chia hết cho 5 ( 1 )

P ( - 1 ) chia hết cho 5

⇒ a . (−1)2(−1)2 + b . ( - 1 ) + c chia hết cho 5

⇒ a + b + c chia hết cho 5

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ⇒ a + b + a - b chia hết cho 5

⇒ 2a chia hết cho 5

Mà ƯCLN ( 2 ; 3 ) = 1 ⇒ a chia hết cho 5

Vì a + b chia hết cho 5 ; a chia hết cho 5 ⇒ b chia hết cho 5

Vậy a , b , c chia hết cho 5 . ( đpcm )

Nếu x=0 thì ta có: P(0)=a.0^2+b.0+c

=0+0+c=c

Vì P(x) chia hết cho 5 với mọi x nên c chia hết cho 5.

Nếu x=1 thì ta có:P(1)=a.1^2+b.1+c

=a.1+b+c

=a+b+c

vì c chia hết cho 5 => (a+b) chia hết cho 5

Nếu x=-1 thì ta có:P(-1)=a.(-1)^2+b.(-1)+c

=a.1+(-b)+c

=a-b+c

vì c chia hết cho 5 => (a-b) chia hết cho 5

Ta có: P(1)+P(-1)=a+b+a-b=2a

Vì P(1) + P(-1) chia hết cho 5 mà (2;5)=1 => a chia hết cho 5

Ta có:P(1)-P(-1)=a+b-a-b=2b

Vì P(1)-(P-1) chia hết cho 5 mà (2;5)=1=> b chia hết cho 5

Vậy a,b,c chia hết cho 5(ĐPCM)

Ta có: x là số nguyên và x chia hết cho 5

=> \(ax^3\)chia hết cho 5

\(bx^2\)chia hết cho 5

\(cx\)chia hết cho 5

\(d\)chia hết cho 5

Suy ra cả a,b,c,d đều chia hết cho 5

\(P(x)=ax^2+bx+c \) với a,b,c \(\in{Z}\)

Có : \(P(x)\vdots5\forall{x}\in{Z}\)

nên \(P(0)\vdots5\Leftrightarrow a0^2+b0+c\vdots5\)

\(\Leftrightarrow c\vdots5\)

Vì \(P(x)\vdots5\forall x\) nên \(P(1)=a1^2+b1+c \vdots5\Leftrightarrow a+b+c\vdots 5\Rightarrow a+b\vdots 5\) vì \(c\vdots5\)

\(P{-1}=a(-1)^2+b(-1)+c\vdots5\Leftrightarrow a-b+c\vdots5\Rightarrow a-b\vdots 5\) vì \(c\vdots5\)

\(\begin{cases} (a+b)+(a-b) \vdots5\\ (a+b)-(a-b)\vdots5 \end{cases} \) <=> \(\begin{cases} a+b+a-b \vdots 5 \\ a+b-a+b\vdots 5 \end{cases}\) <=> \(\begin{cases} 2a\vdots 5 \\ 2b \vdots 5 \end{cases}\)

=> \(\begin{cases} a \vdots 5 \\ b \vdots 5 \end{cases}\) ( vì (2,5) đều là số nguyên tố )

Vậy \(a\vdots 5 ; b\vdots 5; c\vdots 5\)

Ta có:

\(P\left(0\right)=d\)

=> d chia hết cho 5

\(P\left(1\right)=a+b+c+d\)

=> a + b + c chia hết cho 5 (1)

\(P\left(-1\right)=-a+b-c+d\) chia hết cho 5 (2)

Cộng (1) và (2) ta được:

2b + 2d chia hết cho 5

Mà d chia hết cho 5 => 2d chia hết cho 5

=> 2b chia hết cho 5

=> b chia hết cho 5

\(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d\) chia hết cho 5

=> 8a + 2c chia hết cho 5 ( Vì 4b + d chia hết cho 5 )

=> 6a + 2a + 2c chia hết cho 5

=> 6a + 2( a + c ) chia hết cho 5

=> 2( a + c ) chia hết cho 5 ( Vì a + b + c chia hết cho 5, b chia hết cho 5 )

=> 6a chia hết cho 5

=> a chia hết cho 5

=> c chia hết cho 5

Vậy a ; b ; c ; d chia hết cho 5

Có \(P\left(x\right)⋮5\)với mọi x

=> \(P\left(0\right)=d⋮5\)

     \(P\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\)

     \(P\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\)

     \(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\)

     \(P\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d\)

=> \(a+b+c⋮5\)và \(-a+b-c⋮5\)

=> \(a+b+c+\left(-a+b-c\right)⋮5\)

=> \(2b⋮5\)

Mà 2 là SNT và b nguyên

=> \(b⋮5\)

=> \(a+c⋮5\); \(-a-c⋮5\); \(8a+2c⋮5\); \(-8a-2c⋮5\)

=> \(2\left(a+c\right)⋮5\)

=> \(2a+2c⋮5\)

=> \(2a+2c+\left(-8a-2c\right)⋮5\)

=> \(-6a⋮5\)

mà 6 không chia hết cho 5

=> \(a⋮5\)

=> \(b⋮5\)

quá đơn giản với BỐ