a: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét tứ giác CMHN có \(\widehat{CMH}=\widehat{CNH}=\widehat{MCN}=90^0\)
nên CMHN là hình chữ nhật

b: Gọi I là trung điểm của BH

=>I là tâm của đường tròn đường kính BH

ΔHNB vuông tại N

=>N nằm trên đường tròn đường kính BH

=>N nằm trên (I)

=>IH=IN

=>\(\widehat{IHN}=\widehat{INH}\)

mà \(\widehat{IHN}=\widehat{BAC}\)(hai góc đồng vị, HN//AC)

nên \(\widehat{INH}=\widehat{BAC}\)

CMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{MCH}=\widehat{MNH}\)

=>\(\widehat{MNH}=\widehat{ACH}\)

\(\widehat{INM}=\widehat{INH}+\widehat{MNH}\)

\(=\widehat{BAC}+\widehat{ACH}=90^0\)

=>MN là tiếp tuyến của (I)

hay MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH

d: ΔCHO vuông tại H

=>CH<=CO

mà CH=MN

nên MN<=CO

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với O

=>CO\(\perp\)AB tại O

Xét ΔCAB có

CO là đường trung tuyến

CO là đường cao

Do đó; ΔCAB cân tại C

Xét ΔCAB cân tại C có \(\widehat{ACB}=90^0\)

nên ΔCAB vuông cân tại C

=>\(\stackrel\frown{CA}=\stackrel\frown{CB}\)

=>C là điểm chính giữa của cung AB

a, Tứ giác CMHN là hình chữ nhật

b, Ta có  O C A ^ = O A C ^

C B A ^ = A C H ^ ; A C H ^ = C M N ^

=>  O C A ^ + C M N ^ = 90 0

Vậy OC ⊥ MN

c, Ta có ∆IOC có E là trực tâm suy ra IN đi qua M và E (đpcm)

d, Ta có  E M A ^ = C M N ^ ; C M N ^ = C B A ^ => ∆EMA:∆ENB

Tương tự ∆EMH:∆EHN => EM.EN = E H 2 ngoài ra , ∆EHC vuông tại H có HD là đường cao

=>  E H 2 = ED.EC. Từ đó ta có đpcm

Tôi cũng có bài khó giống ý hệt bạn,vậy bạn có hướng làm chưa

a,

AM và BN cùng vuông góc với d

=> AM song song BN

AM song song BN(cmt)

=> AMNB là hình thang mà góc AMN = 90* ( AM vuông góc MN)

=> tg AMNB là hình thang vuông.

Vậy...

BẠn tự vẽ hình nhé.

Gọi P là giao điểm của BC với Ax

-Vì O là TĐ của AB và OM//BP =>M là TĐ của AP

Áp dụng ĐL talets

 Vì CIH // PMA => \(\frac{BC}{BP}=\frac{BI}{BM}=\frac{CI}{PM}\) VÀ \(\frac{BI}{BM}=\frac{BH}{BA}=\frac{IH}{MA}\)

=>\(\frac{CI}{PM}=\frac{IH}{MA}\)Do PM=MA => CI = IH