Question

Bài 7: Cho nửa đường tròn , đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn. Từ C kẻ . Gọi M là hình chiếu của H trên AC, N là hình chiếu của H trên BC.

            a, Chứng minh tứ giác HMCN là hình chữ nhật.

            b, Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH.

            c, Chứng minh .

            d, Xác định C để MN có độ dài lớn nhất

Answer 1

a: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét tứ giác CMHN có \(\widehat{CMH}=\widehat{CNH}=\widehat{MCN}=90^0\)
nên CMHN là hình chữ nhật

b: Gọi I là trung điểm của BH

=>I là tâm của đường tròn đường kính BH

ΔHNB vuông tại N

=>N nằm trên đường tròn đường kính BH

=>N nằm trên (I)

=>IH=IN

=>\(\widehat{IHN}=\widehat{INH}\)

mà \(\widehat{IHN}=\widehat{BAC}\)(hai góc đồng vị, HN//AC)

nên \(\widehat{INH}=\widehat{BAC}\)

CMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{MCH}=\widehat{MNH}\)

=>\(\widehat{MNH}=\widehat{ACH}\)

\(\widehat{INM}=\widehat{INH}+\widehat{MNH}\)

\(=\widehat{BAC}+\widehat{ACH}=90^0\)

=>MN là tiếp tuyến của (I)

hay MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH

d: ΔCHO vuông tại H

=>CH<=CO

mà CH=MN

nên MN<=CO

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với O

=>CO\(\perp\)AB tại O

Xét ΔCAB có

CO là đường trung tuyến

CO là đường cao

Do đó; ΔCAB cân tại C

Xét ΔCAB cân tại C có \(\widehat{ACB}=90^0\)

nên ΔCAB vuông cân tại C

=>\(\stackrel\frown{CA}=\stackrel\frown{CB}\)

=>C là điểm chính giữa của cung AB