1: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó:MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

2: Ta có: ΔOAM vuông tại A

=>\(AO^2+AM^2=OM^2\)

=>\(AM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

Xét ΔAMO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\)

=>\(MH\cdot MO=3R^2\)

3:

Xét ΔOAM vuông tại A có \(sinAMO=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{AMO}=30^0\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc AMB

=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)

nên ΔMAB đều

4: Xét (O) có

\(\widehat{MAI}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AI

\(\widehat{IKA}\) là góc nội tiếp chắn cung AI

Do đó: \(\widehat{MAI}=\widehat{IKA}\)

Xét ΔMAI và ΔMKA có

\(\widehat{MAI}=\widehat{MKA}\)

\(\widehat{AMI}\) chung

Do đó: ΔMAI đồng dạng với ΔMKA

=>\(\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{MI}{MA}\)

=>\(MA^2=MI\cdot MK\)

mà \(MA^2=MH\cdot MO\)

nên \(MI\cdot MK=MH\cdot MO\)

Ta có: \(\widehat{MAI}+\widehat{OAI}=\widehat{OAM}=90^0\)

\(\widehat{HAI}+\widehat{OIA}=90^0\)(ΔAHI vuông tại H)

mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)(ΔOAI cân tại O)

nên \(\widehat{MAI}=\widehat{HAI}\)

=>AI là phân giác của góc MAH

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của BA(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại trung điểm H của AB

b: Xét (O) có

\(\widehat{MAP}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AP

\(\widehat{AQP}\) là góc nội tiếp chắn cung AP

Do đó: \(\widehat{MAP}=\widehat{AQP}\)

=>\(\widehat{MAP}=\widehat{MQA}\)

Xét ΔMAP và ΔMQA có

\(\widehat{MAP}=\widehat{MQA}\)

\(\widehat{AMP}\) chung

Do đó: ΔMAP đồng dạng với ΔMQA

=>\(\dfrac{MA}{MQ}=\dfrac{AP}{QA}\left(1\right)\)

Xét (O) có

ΔQAP nội tiếp

QP là đường kính

Do đó: ΔQAP vuông tại A

Xét ΔHAP vuông tại H và ΔHQA vuông tại H có

\(\widehat{HAP}=\widehat{HQA}\left(=90^0-\widehat{HPA}\right)\)

Do đó: ΔHAP đồng dạng với ΔHQA

=>\(\dfrac{HA}{HQ}=\dfrac{AP}{QA}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{MA}{MQ}=\dfrac{HA}{HQ}\)

=>\(MA\cdot HQ=MQ\cdot HA\)

" Đường thẳng MO cắt tâm O tại I và C mà I,C nằm giữa M, O"???

Đoạn này sai sai. Bạn xem lại đề.

Để chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc ∠MAO, ta cần chứng minh rằng ∠MAI = ∠IAO.

Ta có:

∠MAI = ∠MAB (vì AI là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A)

∠MAB = ∠MOB (cùng nằm trên cung MB)

∠MOB = ∠IAO (do MO cắt tâm O tại I)

Từ đó, ta có:

∠MAI = ∠IAO

Vậy, AI là tia phân giác của góc ∠MAO.

a: Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

nên MA=MB=căn 10^2-6^2=8cm

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA
góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA

=>MA/MD=MC/MA
=>MD*MC=MA^2=8^2=64

c: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên MH*MO=MA^2=MC*MD

a: OH*OM=OA^2=R^2

b: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI vuông góc với CD

Xét tứ giác OIAM có

góc OIM=góc OAM=90 độ

nên OIAM là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có

góc HOK chung

Do đo: ΔOHK đồng dạng với ΔOIM

=>OH/OI=OK/OM

=>OI*OK=OH*OM=R^2=OC^2

mà CI vuông góc với OK

nên ΔOCK vuông tại C

=>KC là tiếp tuyến của (O)

HS tự chứng minh

a: Xét ΔOMA vuông tại A và ΔOMB vuông tại B có

OM chung

\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)

Do đó: ΔOMA=ΔOMB

b: Ta có: ΔOMA=ΔOMB

nên MA=MB

hay ΔAMB cân tại M

c: Ta có: ΔOAM=ΔOBM

nên OA=OB

=>ΔOAB cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM là đường cao