a) \(x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)

c) \(C=4x-10-x^2=-\left(x^2-4x+10\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2+6\right]\)

\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2\right]-6\le-6< 0\forall x\)

\(1,x^2-x+1=x^2-2.x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0=>\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\) (với mọi x)

Vậy ........

\(2,a,\left(x-3\right)\left(1-x\right)-2=x-x^2-3+3x-2=-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+5\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4+1\right)=-\left(x^2-2.x.2+2^2+1\right)=-\left[\left(x-2\right)^2+1\right]=-1-\left(x-2\right)^2\)

Vì \(\left(x-2\right)^2\ge0=>-\left(x-2\right)^2\le0=>-1-\left(x-2\right)^2\le-1< 0\) (với mọi x)

Vậy........

\(b,\left(x+4\right)\left(2-x\right)-10=2x-x^2+8-4x-10=-x^2-2x-2=-\left(x^2+2x+2\right)=-\left(x^2+2x+1+1\right)\)

\(=-\left(x^2+2.x.1+1^2+1\right)=-\left(x+1\right)^2+1=-1-\left(x+1\right)^2\le-1< 0\) (với mọi x)

Vậy.......

Lời giải:
\(Q=(x^2-1)\left[\frac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)}+1\right]=(x^2-1)\left(\frac{2}{x^2-1}+1\right)=(x^2-1).\frac{x^2+1}{x^2-1}\)

\(=x^2+1\geq 1>0\) với mọi $x\neq \pm 1$

Vậy $Q$ luôn dương với mọi $x\neq \pm 1$ (đpcm)

Ta có: \(Q=\left(x^2-1\right)\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\cdot\dfrac{x+1-x+1+x^2-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=x^2+1>0\forall x\)

a)\(A=x^2+x+1=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\)

b) \(B=2x^2+2x+1=2\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}>0\)

\(A=2x-x^2-1\)

\(=-x^2+2x-1\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)\)

\(=-\left(x-1\right)^2\)

Vì: \(-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\)

\(Hay:A\le0\forall x\)

=.= hok tốt!!

có A=2x-x^2-1                                                                                                                                                                                                             =-(x^2-2x+1)                                                                                                                                                                                                         =-(x-1)^2                                                                                                                                                                                                        có (x-1)^2 luôn không âm với mọi x                                                                                                                                                                         nên -(x-1)^2 luôn không dương với mọi x                                                                                                                                                        vậy A luôn nhận giá trị không dương với mọi x

a) \(A=x^2+2x+3=x^2+2x+1+2\)

\(=\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

Vậy A luôn dương với mọi x

b) \(B=-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+5\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+2^2\right)-1\)

\(=-\left(x-2\right)^2-1\le-1\)

Vậy B luôn âm với mọi x

a)\(x^2+2x+3=\left(x^2+2x+1\right)+2=\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

Vậy x² +2x+3 luôn dương.

b)\(-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+5\right)=-\left(x^2-4x+4+1\right)=-\left[\left(x-2\right)^2+1\right]\le-1\)

Vậy -x² +4x-5 luôn luôn âm.

a.x²+ 2x+ 3

=x²+ 2.x.1+ 1²- 1²+ 3

= (x+1)² -1+3

= (x+1)²+ 2

Ta có: (x+1)² ≥0

           (x+1)²+ 3≥ 3>0

⇒x²+ 2x+ 3>0 mọi x

Vậy x²+ 2x+3>0 mọi x

b. -x²+ 4x- 5

= - (x²- 4x +5)

= - (x²- 2.x.2+ 2²- 2²+ 5)

= - ((x- 2)²- 4+ 5)

= - ((x- 2)²+1)

= -(x- 2)² -1

Ta có: (x-2)² ≥0

         - (x-2)² ≤0

         - (x-2)² +1≤ 1

⇒ -x²+ 4x- 5 <0 mọi x

Vậy -x²+ 4x- 5 <0 mọi x