Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\\ \Rightarrow \left( {AA',\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AA',AH} \right) = \widehat {A'AH}\end{array}\)

\(\Delta AA'H\) vuông tại \(H \Rightarrow A'H = AA'.\sin \widehat {A'AH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \(\left( {ABC} \right)\parallel \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

a) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}}\)

\(BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot AC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AC \bot \left( {B{\rm{DD'B'}}} \right)\\AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {B{\rm{DD}}'B'} \right)\)

b) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AB\parallel C{\rm{D}}\)

\(CDD'C'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow C{\rm{D}}\parallel C'{\rm{D}}'\)

\( \Rightarrow AB\parallel C'{\rm{D}}' \Rightarrow d\left( {AB,C'{\rm{D}}'} \right) = d\left( {B,C'{\rm{D}}'} \right)\)

\(A'B'C'D'\) là hình vuông \( \Rightarrow C'D' \bot B'C'\)

\(CDD'C'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow C'D' \bot CC'\)

\( \Rightarrow C'D' \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow C'D' \bot BC' \Rightarrow d\left( {B,C'{\rm{D}}'} \right) = BC'\)

\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l}CC' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {AC',\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AC',AC} \right) = \widehat {CAC'} = {60^ \circ }\\ \Rightarrow CC' = AC.\tan \widehat {CAC'} = a\sqrt 6 \end{array}\)

\(\Delta BCC'\) vuông tại \(C \Rightarrow BC{'^2} = \sqrt {B{C^2} + CC{'^2}}  = a\sqrt 7 \)

Vậy \(d\left( {AB,C'{\rm{D}}'} \right) = a\sqrt 7 \).

a) \(BCC'B'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow BC\parallel B'C'\)

\( \Rightarrow \left( {AB,B'C'} \right) = \left( {AB,BC} \right) = \widehat {ABC} = {60^ \circ }\).

b)

\(\Delta AA'B\) vuông tại \(A \Rightarrow \tan \widehat {ABA'} = \frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {ABA'} = {45^ \circ }\)

Vậy \(\left( {A'B,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^ \circ }\).

c) \(CC' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CC' \bot BC,CC' \bot CM\)

Vậy \(\widehat {BCM}\) là góc nhị diện \(\left[ {B,CC',M} \right]\).

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat {BCM} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = {30^ \circ }\).

d) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CM\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM \bot AB\).

\( \Rightarrow CM \bot \left( {ABB'A'} \right)\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(\left. \begin{array}{l}CC'\parallel AA'\\AA' \subset \left( {ABB'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CC'\parallel \left( {ABB'A'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

e) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CM\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM \bot AB\).

\( \Rightarrow CM \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CM \bot A'M\)

\(CC' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CC' \bot CM\)

\( \Rightarrow d\left( {CC',A'M} \right) = CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

g) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},h = AA' = a\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

\({S_{\Delta MBC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8},h = AA' = a\)

\( \Rightarrow {V_{A'.MBC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta MBC}}.AA' = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AI \bot BC\)

Tam giác \(A'BC\) cân tại \(A' \Rightarrow A'I \bot BC\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'I,AI} \right) = \widehat {AI{\rm{A}}'} = {60^ \circ }\)

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AA' = AI.\tan \widehat {AI{\rm{A}}'} = \frac{{3a}}{2}\)

b) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\)

\(AH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

\(\Delta AA'H\) vuông tại \(H\)\( \Rightarrow A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.A'H = \frac{{3{a^3}}}{8}\end{array}\)

0

https://drive.google.com/file/d/14sFf-9MfaJuL3GJKeIrHLg4J4yfiGNuz/view?usp=sharing

Võ Ngọc Tú Uyên  

a) (SAB) và (SAD) cùng vuông góc (ABCD), (SAB) và (SAB) có giao tuyến SA => SA vuông góc (ABCD)

=> BC vuông góc SA. Mà BC vuông góc AB nên BC vuông góc (SAB).

Ta cũng có BD vuông góc AS, BD vuông góc AC vì ABCD là hình vuông

=> BD vuông góc (SAC) hay (SAC) vuông góc (SBD).

b) Gọi M là trung điểm của AB, CM cắt AD tại P, H thuộc CM sao cho AH vuông góc CM, K thuộc SH sao cho AK vuông góc SH.

Dễ thấy AN || CM => AN || (SCM) => d(AN,SC) = d(AN,SCM) = d(A,SCM) = d(A,SMP)

Ta có AH vuông góc MP, MP vuông góc AS => MP vuông góc (HAS) => (SMP) vuông góc (HAS)

Vì (SMP) và (HAS) có giao tuyến SH, AK vuông góc SH tại K nên d(A,SMP) = AK

Theo hệ thức lượng thì: \(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}\)

\(\Rightarrow d\left(AN,SC\right)=d\left(A,SMP\right)=AK=\frac{AS.AM.AP}{\sqrt{AS^2AM^2+AM^2AP^2+AP^2AS^2}}\)

\(=\frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{2}.a}{\sqrt{2a^2.\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}.a^2+a^2.2a^2}}=\frac{a\sqrt{22}}{11}.\)