1) Xét (O) có 

\(\widehat{ANB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{ANB}=90^0\)

Xét tứ giác ANMO có 

\(\widehat{ANM}+\widehat{AOM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

nên ANMO là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

2) Vì AB⊥CD(gt)

mà AB,CD là các đường kính của (O)

nên D là điểm chính giữa của cung AB

Xét (O) có 

\(\widehat{AND}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

\(\widehat{BND}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

\(sđ\stackrel\frown{AD}=sđ\stackrel\frown{BD}\)(D là điểm chính giữa của cung AB)

Do đó: \(\widehat{AND}=\widehat{BND}\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay ND là tia phân giác của \(\widehat{ANB}\)(đpcm)

+) Dựng đường thẳng vuông góc với BN tại M cắt AC,D tại E,F. Khi đó: M là trung điểm EF

Thật vậy: Dễ thấy tứ giác ACBD là hình vuông => ^BDF = 90⁰. Có ^BMF = 90⁰ Suy ra: Tứ giác BMFD nội tiếp

=> ^BFM = ^BDM = 45⁰. Do đó: \(\Delta\)BMF vuông cân tại M => MF = MB

Lại thấy: ^BME = ^BCE = 90⁰ => Tứ giác BECM nội tiếp => ^BEM = ^BCM = 45⁰ 

=> \(\Delta\)BME vuông cân tại M => MB = ME. Từ đó: ME = MF (Hoàn tất c/m)

+) Ta có: \(\Delta\)BEF vuông cân tại B => BE = BF. Kết hợp: BC = BD, ^BCE = ^BDF (=90⁰)

Suy ra: \(\Delta\)BCE = \(\Delta\)BDF (Ch.cgv) => CE = DF (Cạnh tương ứng) 

Từ đó: AE + AF = AC + CE + AF = AC + DF + AF = AC + AD = 2AC = R.\(2\sqrt{2}\)= 6\(\sqrt{2}\)(cm) (R=3 cm)

Vậy tổng AE + AF = const (đpcm).

cho mình hỏi cũng đề này mà chứng minh :

1 ND là đường phân giác của góc ANB 

2. tính căn của BM.BN

a: sđ cung AC=sđ cung BC

=>góc ANC=góc BDC

=>góc PNQ=góc PDQ

=>DQPN nội tiếp

=>góc NQP=góc NDP

góc NDB=góc NAB

=>góc NQP=góc NAB

=>PQ//AB

=>PQ vuông góc CD

b: Xét ΔACQ và ΔMAC có

góc CAQ=góc AMC

góc AQC=góc MCA

=>ΔACQ đồng dạng với ΔMAC

a: góc ACB=1/2*sđ cung AB=90 độ

góc EIB+góc ECB=180 độ

=>EIBC nội tiếp

b: Sửa đề: AE*AC-AI*AB=0

Xét ΔAIE vuông tại I và ΔACB vuông tại C co

góc IAE chung

=>ΔAIE đồng dạng với ΔACB

=>AI/AC=AE/AB

=>AI*AB=AE*AC

=>AI*AB-AE*AC=0

a) Xét (O) có

\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{ACB}=90^0\)

Xét tứ giác BHKC có 

\(\widehat{BHK}+\widehat{BCK}=180^0\)

nên BHKC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a: Xét (O) có

ΔAKB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔAKB vuông tại K

Xét tứ giác BKHI có

góc BKH+góc BIH=180 độ

=>BKHI là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAHI vuông tại I và ΔABK vuông tại K có

góc HAI chung

=>ΔAHI đồng dạng với ΔABK

=>AH/AB=AI/AK

=>AH*AK=AI*AB=1/4*R^2