\(1152=32.36\)

Đặt \(A=n^8-n^6-n^4+n^2=n^6\left(n^2-1\right)-n^2\left(n^2-1\right)\)

\(=n^2\left(n^2-1\right)\left(n^4-1\right)=n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]^2\left(n^2+1\right)\)

Do \(n\) lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(\Rightarrow A=\left[\left(2k+1\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\right]^2\left[\left(2k+1\right)^2+1\right]\)

\(=32\left[k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\right]^2.\left(2k^2+2k+1\right)\)

Do \(k\) và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow k\left(k+1\right)⋮2\) (1)

Nếu k chia hết cho 3 \(\Rightarrow k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮3\)

Nếu k chia 3 dư 1 \(\Rightarrow2k+1⋮3\Rightarrow k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮3\)

Nếu k chia 3 dư 2 \(\Rightarrow k+1⋮3\Rightarrow k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\) luôn chia hết cho 3 (2)

(1);(2) \(\Rightarrow k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮6\Rightarrow\left[k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\right]^2⋮36\)

\(\Rightarrow32\left[k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\right]^2⋮\left(32.36\right)\Rightarrow A⋮1152\)

ảnh đại diện trên google kìa

Mà \(125⋮5\Rightarrow\left(2n-1\right)^3+75⋮5\) mà \(75⋮5\Rightarrow\left(2n-1\right)^3⋮5\)

Vì 5 nguyên tố \(\Rightarrow2n-1⋮5\Rightarrow\left(2n-1\right)^3⋮125\) nhưng 75 \(⋮̸\)125 (vô lí)

Vậy \(4n^3-6n^2+3n+37\)\(⋮̸\)125

.

Lời giải:

Gọi biểu thức là $A$. Đặt $n=2k+1$ với $k$ nguyên.

$A=n^8(n^4-1)-(n^4-1)=(n^4-1)(n^8-1)$

$=(n^4-1)(n^4-1)(n^4+1)$

$=(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)$

$=(2k)^2(2k+2)^2(4k^2+4k+2)^2(n^4+1)$

$=64[k(k+1)]^2(2k^2+2k+1)^2(n^4+1)$

Vì $k(k+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên hiển nhiên chia hết cho 2

$\Rightarrow [k(k+1)]^2\vdots 4$

Với $n$ lẻ thì hiển nhiên $n^4+1\vdots 2$

$\Rightarrow A\vdots 64.4.2=512$ (đpcm)

-2.

-1.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6

=0

a) Phân tích  15 n   + 15 n + 2 = 113.2. 15 n .

b) Phân tích  n 4   –   n 2 = n 2 (n - 1)(n +1).

A = n 4   –   2 n 3   –   n 2  +2n = (n – 2)(n – 1)n(n + 1) là tích của 4 số nguyên liên tiếp do đó  A ⋮ 24 .

Đặt \(A=n^4-10n^2+9\)

\(n^4-n^2-9\left(n^2-1\right)=n.n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 3

\(\Rightarrow A⋮3\)

Lại có: \(A=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Do n lẻ, đặt \(n=2k+1\)

\(\Rightarrow A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 8

\(\Rightarrow A⋮\left(16.8\right)\Rightarrow A⋮128\)

Mà 3 và 128 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow A⋮\left(128.3\right)\Rightarrow A⋮384\)