\(BC=BH+HC=10\left(cm\right)\\ \text{Áp dụng HTL: }\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{BH\cdot BC}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{CH\cdot BC}=4\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$AH^2=BH.CH=10.22,5=225$

$\Rightarrow AH=15$ (cm)

$BC=BH+CH=10+22,5=32,5$ (cm)

Diện tích tam giác $ABC$:

$\frac{AH.BC}{2}=\frac{15.32,5}{2}=243,75$ (cm²)

Hình vẽ:

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=16\)

=>AC=căn 16=4

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=12/5=2,4

b: Ta có: ΔBAE cân tại B

mà BC là đường cao

nên BC là phân giác của góc ABE

Xét ΔBAC và ΔBEC có

BA=BE

\(\widehat{ABC}=\widehat{EBC}\)

BC chung

Do đó: ΔBAC=ΔBEC

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{BEC}\)

=>\(\widehat{BEC}=90^0\)

=>CE\(\perp\)EB tại E

Xét (B) có

BE là bán kính

CE vuông góc BE tại E

Do đó: CE là tiếp tuyến của (B;BA)

ΔCBA=ΔCBE

=>CA=CE
mà CA=4

nên CE=4

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=20\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12\cdot16}{20}=9.6\left(cm\right)\)

BH=AB^2/BC=12^2/20=144/20=7,2cm

Áp dụng định lý PYTAGO vào tam giác ABC có

BC^2=AB^2+AC^2= 9^2+12^2=225

=>BC= 15

Sabc= 1/2.AB.AC = 54 mà Sabc = 1/2.AH.BC 

=>1/2.AH = Sabc: BC = 3.6=> AH =7,2