ta có x+y+z=0 suy ra (x+y+z)²=0

do đó x²+y²+z²=0(vì xy+yz+xz=0)

vì thế x=y=z

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\frac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\frac{2\sqrt{\left(yz\right)^2}}{x}=\frac{2yz}{x}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có

\(\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\frac{2xy}{z};\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xz}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\)

Cần chứng minh \(\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)

Tương tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM

Khi \(x=y=z\)

ủa đây là toám lớp 1 hả anh

cauchy phần mẫu @@

Forever_Alone tên là Anh nhưng ko bt họ

Ta có :

\(\left(x+y+z\right)^2\)

\(=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2.0\)

\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2\)

Vậy \(x=y=z\left(=0\right)\)(đpcm)