a) \(a\times\overline{bc}=91=1\times91=7\times13\)

do đó 

\(a=1,\overline{bc}=91\)hoặc \(a=7,\overline{bc}=13\)

mà \(a,b,c\)khác nhau nên \(a=7,b=1,c=3\).

b) \(\overline{aa}\times\overline{bc}=1001=11\times91=77\times13\)

mà \(a,b,c\)khác nhau nên \(a=7,b=1,c=3\).

Câu này đề bị lỗi hiển thị rồi

Lời giải:

Từ $A$ kẻ $AH$ vuông góc với $BC$

Khi đó:

\(60^0=\angle ((A'BC), (ABC))=\angle (AH, A'H)=\angle AHA'\)

Do hình lăng trụ đã cho là lăng trụ đều nên tam giác $ABC$ là tam giác đều có đường cao $AH$ nên:

\(AH=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

\(\Rightarrow \sqrt{3}=\tan AHA'=\frac{AA'}{AH}\Rightarrow AA'=\frac{3}{2}a\)

\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.AA'=\frac{AH.BC}{2}.\frac{3}{2}a=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}.\frac{3}{2}a=\frac{3\sqrt{3}a^3}{8}\)

O' là điểm nào em nhỉ?

Ta sẽ chứng minh BĐT sau: a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc với mọi a,b,c

\(a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac\)

=>\(2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ac\)

=>\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2>=0\)

=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2>=0\)(luôn đúng)

a: ab+ac+bc>=3

mà a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc(CMT)

nên a^2+b^2+c^2>=3

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Khi a=b=c=1 thì A=1+1+1+10=13

b: a^2+b^2+c^2<=8

Dấu = xảy ra khi \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{8}{3}\)

=>\(a=b=c=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)

Khi \(a=b=c=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\) thì \(B=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\cdot3-5=2\sqrt{6}-5\)

Ta có dạng tổng quát:

\(abcabc:1001=abc\)

\(\Rightarrow a4b5c3:1001=a4b=5c3\)

\(\Rightarrow abc=543\)

\(\Rightarrow a=5;b=4;c=3\)