Lời giải:

Ta có: $A=x^2+\frac{1}{y(x-y)}$. Đặt $x-y=a$ với $a>0$ thì áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$A=(a+y)^2+\frac{1}{ay}\geq 4ay+\frac{1}{ay}\geq 2\sqrt{4ay.\frac{1}{ay}}=4$

Vậy $A_{\min}=4$ khi $x=\sqrt{2}; y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x+y-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{x+y-y}}=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x^2}{x\sqrt{y}}+\dfrac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{x+y}{2}.\left(1.\sqrt{x}+1.\sqrt{y}\right)}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{x+y}{2}.\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x+y\right)}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

"=" khi x = y = 1/2

giúp mình voi ah

3, A=(x-3)^2+(x-11)^2

\(\Rightarrow\)(X^2-3^2)+(x^2-11^2)

\(\Rightarrow\)(X^2-9)+(X^2-121)

Ta có :X^2 \(\ge\)0 và X^2 \(\ge\)0

\(\Rightarrow\)X^2 - 9 \(\le\)-9 và X^2- 121 \(\le\)-121

\(\Rightarrow\)(X^2-9)+(X^2-121)\(\le\)-130

Dấu = xảy ra khi : X=0

Vậy : Min A = -130 khi x=0

Mình mới lớp 7 sai thì thôi nhé

*Max

Có: \(x^2+4\ge4x\)

        \(y^2+4\ge4y\)

      \(z^2+4\ge4z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+12\ge4\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow x+y+z\le\frac{x^2+y^2+z^2+12}{4}\)

Lại có \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(Auto chứng minh)

Cộng 2 vế của bdtd lại ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\le\frac{5\left(x^2+y^2+z^2\right)+12}{4}\)

                                                                                                     \(=\frac{5.12+12}{4}=18\)

"=" KHI x = y= z = 2

*Min : ta có : \(12+2\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                                                      \(=\left(x+y+z\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge-6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x + y + z = 0

Với các giá trị trên ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\ge0-6=-6\)

Dấu "=" <=> x + y + z = 0 và x² + y² + z² = 12

bạn ơi mình giải thế này thì sao nhỉ:

đặt x+y+z=a=> \(a^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

=> \(xy+yz+zx=\frac{a^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}\ge\frac{a^2-12}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge a+\frac{a^2-12}{2}\ge-\frac{13}{2}\)( dùng hằng đẳng thức c/m)

dấu " =" <=> \(\hept{\begin{cases}x+y+z=-1\\x^2+y^2+z^2=12\end{cases}}\)

bạn xem thử hộ mik cái =)

Bài 1:

\(A=\left|x-500\right|+\left|x-300\right|=\left|x-500\right|+\left|300-x\right|\)

                                                    \(\ge\left|x-500+300-x\right|=200\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-500\right).\left(300-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-500\ge0\\300-x\ge0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x-500\le0\\300-x\le0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge500\\x\le300\end{cases}}\)   hoặc \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le500\\x\ge300\end{cases}}\) (vô lí)

Nên \(300\le x\le500\)

Vậy A_min = 200 khi và chỉ khi \(300\le x\le500\)

\(Q=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{z^2+5}}\)

\(\Leftrightarrow Q=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x^2+xy+yz+zx\right)}+\sqrt{6\left(y^2+xy+yz+zx\right)}+\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}\)

\(\Leftrightarrow Q=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{3\left(x+y\right).2\left(x+z\right)}+\sqrt{3\left(y+x\right).2\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(z+x\right).\left(z+y\right)}}\)

\(\Rightarrow Q\ge\frac{3x+3y+2z}{\frac{3\left(x+y\right)+2\left(x+z\right)}{2}+\frac{3\left(y+x\right)+2\left(y+z\right)}{2}+\frac{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}{2}}\)

\(\Rightarrow Q\ge\frac{3x+3y+2z}{\frac{9x+9y+6z}{2}}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)và  \(z=2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

A=\(xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}-\dfrac{3}{xyz}+\dfrac{3}{xyz}\right)=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\)

bạn tự chứng minh \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}-\dfrac{3}{xyz}=0\) nha

đặt \(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b;\dfrac{1}{z}=c\)

bài toán thành \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\) nha