Gọi H là trung điểm của AK

Trong  ∆ ADK ta có BH là đường trung bình của ∆ ADK.

⇒ BH // DK (tính chất đường trung bình của tam giác)

Hay BH // MK

Trong  ∆ BCH ta có M là trung điểm của BC

MK // BH

⇒ CK = HK

AK = AH + HK = 2HK

Suy ra: AK = 2 KC ( vì HK =KC)

Từ B kẻ BH // AC

Ta có: AB = BD, BH // AC

=> BH là đường trung bình của \(\Delta ADK\)

=> \(BH=\dfrac{1}{2}AK\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét \(\Delta BHM\) và \(\Delta CKM\) có:

\(\widehat{KMC}=\widehat{BHM}\) (2 góc đối đỉnh)

CM = MB (M trung điểm CB)

\(\widehat{MBH}=\widehat{CKM}\) (KC // BH)

=> \(\Delta BHM=\Delta CKM\left(g.c.g\right)\)

=> KC = BH (2 cạnh tương ứng)

mà \(BH=\dfrac{1}{2}AK\) (cmt)

=> \(KC=\dfrac{1}{2}AK\)

\(\Rightarrow AK=2KC\left(đpcm\right)\)

Từ B kẻ BH // AC

Ta có: AB = BD, BH // AC

=> BH là đường trung bình của \(\Delta ADK\)

=>BH=\(\dfrac{1}{2}AK\)(tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét \(\Delta BHM\)và \(\Delta CKM\) có :

\(\widehat{KMC}=\widehat{BMH}\) ( hai góc đối đỉnh )

CM=MB (M la ftrung điểm của CB)

\(\widehat{MBH}=\widehat{CKM}\) ( KC//BH )

=>\(\widehat{BHM}=\widehat{CKM}\)

=>KC = BH

mà BH=1/2 AK

=>\(KC=\dfrac{1}{2}AK\)

=>AK=2KC

=> đcpm

Qua B kẻ BH // AC , cắt DM tại H

Ta có {BH // AK ; AB = BD => BH là đường trung bình của tam giác ADK

=> AK=2BH (1)

Dễ dàng chứng minh được tam giác MKC = tam giác MBH (g.c.g)

=> BH = CK (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK = 2CK 

Qua B Kẻ BH // AC , cắt DM tại H

Ta có : BH // AK

             AB // BD

=> BH là đường trung bình của tam giác ADK

=> AK = 2 BH (1)

·    *   Xét tam giác MKC và tam giác MBH .

CÓ : BM = CM ( M là trung điểm của BC)

         Góc M1= Góc M2 ( 2 góc đối đỉnh)

        Góc MKC = MBH ( = 90 *)* là độ

=> Tam giác MKC = Tam giác MBH ( g. c . g)

=> BH = KC ( 2 cạnh tương ứng )(2)

Từ (1), (2) suy ra được AK = 2 KC

a) Xét tam giác ABD và tam giác ACD:

AD chung.

AB = AC (gt).

BD = CD (D là trung điểm của BC).

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c-c-c\right).\)

b) Xét tam giác ABC: AB = AC (gt).

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A.

Mà AD là trung tuyến (D là trung điểm của BC).

\(\Rightarrow\) AD là phân giác \(\widehat{BAC}\) (Tính chất tam giác cân).

Xét tam giác MAD và tam giác NAD:

AD chung.

AM = AN (gt).

\(\widehat{MAD}=\widehat{NAD}\) (AD là phân giác \(\widehat{BAC}\)).

\(\Rightarrow\Delta MAD=\Delta NAD\left(c-g-c\right).\)

\(\Rightarrow\) DM = DN (2 cạnh tương ứng).

c) Xét tam giác ADC và tam giác EDB:

DC = DB (D là trung điểm của BC).

AD = ED (gt).

\(\widehat{ADC}=\widehat{EDB}\) (Đối đỉnh).

\(\Rightarrow\Delta ADC=\Delta EDB\left(c-g-c\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{BED}\) (2 góc tương ứng).

\(\Rightarrow\) AC // BE.

Mà \(DK\perp BE\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\) \(DK\perp AC.\left(1\right)\)

Ta có: \(\widehat{AMD}=\widehat{AND}\) \(\left(\Delta MAD=\Delta NAD\right).\)

Mà \(\widehat{AMD}=90^o\left(AM\perp MD\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{AND}=90^o.\Rightarrow AC\perp ND.\left(2\right)\)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow N;D;K\) thẳng hàng.