Question

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng AK = 2 KC

Answer 1

Từ B kẻ BH // AC

Ta có: AB = BD, BH // AC

=> BH là đường trung bình của \(\Delta ADK\)

=> \(BH=\dfrac{1}{2}AK\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét \(\Delta BHM\) và \(\Delta CKM\) có:

\(\widehat{KMC}=\widehat{BHM}\) (2 góc đối đỉnh)

CM = MB (M trung điểm CB)

\(\widehat{MBH}=\widehat{CKM}\) (KC // BH)

=> \(\Delta BHM=\Delta CKM\left(g.c.g\right)\)

=> KC = BH (2 cạnh tương ứng)

mà \(BH=\dfrac{1}{2}AK\) (cmt)

=> \(KC=\dfrac{1}{2}AK\)

\(\Rightarrow AK=2KC\left(đpcm\right)\)

Answer 2

Từ B kẻ BH // AC

Ta có: AB = BD, BH // AC

=> BH là đường trung bình của \(\Delta ADK\)

=>BH=\(\dfrac{1}{2}AK\)(tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét \(\Delta BHM\)và \(\Delta CKM\) có :

\(\widehat{KMC}=\widehat{BMH}\) ( hai góc đối đỉnh )

CM=MB (M la ftrung điểm của CB)

\(\widehat{MBH}=\widehat{CKM}\) ( KC//BH )

=>\(\widehat{BHM}=\widehat{CKM}\)

=>KC = BH

mà BH=1/2 AK

=>\(KC=\dfrac{1}{2}AK\)

=>AK=2KC

=> đcpm

Answer 3