Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Phú Hoàng Phong
Xem chi tiết
Akai Haruma
14 tháng 6 2021 lúc 23:47

Lời giải:

$x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-[x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)]$

Mà:

$x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$

$=(-z)^3-3xy(-z)+z^3=3xyz$

Và:

\(x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)\)

\(=x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=-x^2y^2z-y^2z^2x-x^2y^2z\)

\(=-xyz(xy+yz+xz)=-xyz[\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}]=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)

Do đó: \(x^5+y^5+z^5=3xyz(x^2+y^2+z^2)-\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{5xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)

\(\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)\)

Ta có đpcm.

 

 

Nguyễn Hà Thục Nhi
Xem chi tiết
hoang van tra
25 tháng 11 2016 lúc 21:29

khó quá

Hoàng Lê Bảo Ngọc
26 tháng 11 2016 lúc 10:12

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta được ; 

\(\left|x+y-z\right|+\left|y+z-x\right|\ge\left|x+y-z+y+z-x\right|=2\left|y\right|\)

Tương tự : \(\left|y+z-x\right|+\left|z+x-y\right|\ge2\left|z\right|\)

\(\left|z+x-y\right|+\left|x+y-z\right|\ge2\left|x\right|\)

\(\Rightarrow\left|x+y-z\right|+\left|y+z-x\right|+\left|z+x-y\right|+\left|x+y+z\right|\ge\left|x+y+z\right|+2\left(\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\right)\)

\(\ge2\left(\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\right)\)

Lê Xuân Đức
Xem chi tiết
nguyễn hà tuấn thái
26 tháng 11 2016 lúc 21:01

đxcccx

Nguyễn Tiến Bộ
26 tháng 11 2016 lúc 21:01

x+yddccs

nguyễn hà tuấn thái
26 tháng 11 2016 lúc 21:03

=y=x=z=v=a=h

Duy Phạm
Xem chi tiết
Trung Kiên Bùi
28 tháng 8 2021 lúc 9:58

x + y + z = 0 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 = 3 x y z ⇒ ( x 3 + y 3 + z 3 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ x 5 + y 5 + z 5 + x 2 y 2 ( x + y ) + y 2 z 2 ( y + z ) + z 2 x 2 ( z + x ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ x 5 + y 5 + z 5 − x y z ( x y + y x + z x ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ 2 ( x 5 + y 5 + z 5 ) = 5 x y z ( x 2 + y 2 + z 2)

Trung Kiên Bùi
28 tháng 8 2021 lúc 10:05

Tick mình nha

yeens
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 3 2021 lúc 22:36

Ta có:

\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Ta có:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+1\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}\) 

Tương tự ...

Cộng lại ta có:

\(2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+6\ge3\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}-\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{y}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{z}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{z}{y}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

????????
Xem chi tiết
Fan Hero
17 tháng 2 2023 lúc 15:26

Ko thấy bạn ê

Đào Anh Phương
Xem chi tiết
Xyz OLM
17 tháng 8 2021 lúc 18:34

Ta có : \(27xyz\le\left(x+y+z\right)^3\)

<=> \(\left(x+y+z\right)^3-27xyz\ge0\)

<=> (x + y)3 + 3(x + y)z(x + y + z) + z3 - 27xyz \(\ge0\)

=> x3 + y3 + 3xy(x + y) + 3(x + y)z(x + y + z) + z3 - 27xyz \(\ge\)

<=> (x3 + y3 + z3) + 3(x + y)[xy + z(x + y + z)] - 27xyz \(\ge0\)

<=> (x3 + y3 + z3) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz   \(\ge0\)

mà  x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)

Thật vậy x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)

=> (x + y)2 \(\ge\)4xy 

<=> x2 - 2xy + y2  \(\ge\) 0

<=> (x - y)2 \(\ge\)0 (đúng \(\forall x;y>0\))

Tương tự ta được y + z \(\ge2\sqrt{yz}\)

z + x \(\ge2\sqrt{xz}\)

Khi đó 3(x + y)(y + z)(z + x) \(\ge3.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=24xyz\)(dấu "=" xảy ra khi x = y = z)

=> (x3 + y3 + z3) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz   \(\ge0\)

<=> (x3 + y3 + z3) + 24xyz - 27xyz \(\ge0\)

<=> x3 + y3 + z3 - 3xyz   \(\ge0\)

<=> (x + y + z)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2\(\ge\)0 (đúng)

=> ĐPCM

Khách vãng lai đã xóa
Tạ Duy Phương
Xem chi tiết
Thái Bình Nguyễn
Xem chi tiết