\(S=2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+..+2^{28}+2^{29}+2^{30}\) 

\(S=2.\left(1+2+2^2\right)+2^4.\left(1+2+2^2\right)+...+2^{28}.\left(1+2+2^2\right)\) 

\(S=\left(1+2+2^2\right).\left(2+2^4+...+2^{28}\right)\) 

\(S=7.\left(2+2^4+...+2^{28}\right)\) 

⇒ \(S⋮7\)   ( điều phải chứng minh ) 

S=2¹+2²+2³+...+2³⁰

S=(2¹+2²+2³)+(2⁴+2⁵+2⁶)+...+(2²⁸+2²⁹+2³⁰)

S=7.2+7.2⁴+...+7.2²⁸

S=7.(2+2⁴+...+2²⁸)

⇒S⋮7

Ta có: \(S=2^1+2^2+2^3+...+2^{28}+2^{29}+2^{30}\)

\(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{28}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\cdot\left(2+2^4+...+2^{28}\right)⋮7\)

\(S=1+2+2^2+2^3+.....+2^{11}\)

\(2S=2+2^2+2^3+.....+2^{12}\)

\(2S-S=\left(2+2^2+2^3+.....+2^{12}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+.....+2^{11}\right)\)

\(S=2+2^2+2^3+.....+2^{12}-1-2-2^2-2^3-.....-2^{11}\)

\(S=2^{12}-1\)

S = 1 + 2 + 2² +2³ +...+ 2¹¹

S = 1 + 2 x ( 1 + 2 + 2² + 2³ +.....+ 2¹⁰ )

S = 3 x ( 1 + 2 + 2² + 2³ +.....+ 2¹⁰ )

Vì 3 nhân số nào cũng chia hết cho 3

Suy ra S chia hết cho 3

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + .... + 2¹¹

2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹²

2S - S = 2 (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹²) - (1 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹¹)

S = 2¹² - 1

Các bài này có lời giải rồi mà 

1) + S = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁹⁶ (có 96 số; 96 chia hết cho 6)

S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶) + (5⁷ + 5⁸ + 5⁹ + 5¹⁰ + 5¹¹ + 5¹²) + ... + (5⁹¹ + 5⁹² + 5⁹³ + 5⁹⁴ + 5⁹⁵ + 5⁹⁶)

S = (5 + 5⁴) + (5² + 5⁵) + (5³ + 5⁶) + (5⁷ + 5¹⁰) + ... + (5⁹³ + 5⁹⁶)

S = 5.(1 + 5³) + 5².(1 + 5²) + 5³.(1 + 5³) + 5⁷.(1 + 5³) +  ... + 5⁹³.(1 + 5³)

S = 5.126 + 5².126 + 5³.126 + 5⁷.126 + ... + 5⁹³.126

S = 126.(5 + 5² + 5³ + 5⁷ + ... + 5⁹³) chia hết cho 126

+ Do 5 + 5² + 5³ + 5⁷ + ... + 5⁹³ chia hết cho 5 mà 126 chia hết cho 2

=> S chia hết cho 10 => S có tận cùng là 0

2) 16²⁰⁰⁸ - 8²⁰⁰⁰

= (...6) - (8⁴)⁵⁰⁰

= (...6) - (...6)⁵⁰⁰

= (...6) - (...6)

= (...0) chia hết cho 10

3) 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³ = (x + 1²)²

=> 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 = (x + 1)²

=> (1 + 729) + (8 + 512) + (27 + 343) + (64 + 216) + 125 + 1000 = (x + 1)²

=> 730 + 520 + 370 + 280 + 1125 = (x + 1)²

=> (730 + 370) + (520 + 280) + 1125 = (x + 1)²

=> 1100 + 800 + 1125 = (x + 1)² 

=> 3025 = (x + 1)², vô lí

1) + S = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁹⁶ (có 96 số; 96 chia hết cho 6)

S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶) + (5⁷ + 5⁸ + 5⁹ + 5¹⁰ + 5¹¹ + 5¹²) + ... + (5⁹¹ + 5⁹² + 5⁹³ + 5⁹⁴ + 5⁹⁵ + 5⁹⁶)

S = (5 + 5⁴) + (5² + 5⁵) + (5³ + 5⁶) + (5⁷ + 5¹⁰) + ... + (5⁹³ + 5⁹⁶)

S = 5.(1 + 5³) + 5².(1 + 5²) + 5³.(1 + 5³) + 5⁷.(1 + 5³) +  ... + 5⁹³.(1 + 5³)

S = 5.126 + 5².126 + 5³.126 + 5⁷.126 + ... + 5⁹³.126

S = 126.(5 + 5² + 5³ + 5⁷ + ... + 5⁹³) chia hết cho 126

+ Do 5 + 5² + 5³ + 5⁷ + ... + 5⁹³ chia hết cho 5 mà 126 chia hết cho 2

=> S chia hết cho 10 => S có tận cùng là 0

bn cho mình gửi sắp đến thi học kì 2 rồi. đây là những món quà mà bn sẽ nhận đc:
1: áo quần
2: tiền
3: đc nhiều người yêu quý
4: may mắn cả
5: luôn vui vẻ trong cuộc sống
6: đc crush thích thầm
7: học giỏi
8: trở nên xinh đẹp
phật sẽ ban cho bn những điều này nếu cậu gửi tin nhắn này cho 25 người, sau 3 ngày bn sẽ có những đc điều đó. nếu bn ko gửi tin nhắn này cho 25 người thì bn sẽ luôn gặp xui xẻo, học kì 2 bn sẽ là học sinh yếu và bạn bè xa lánh( lời nguyền sẽ bắt đầu từ khi đọc) ( mình
 cũng bị ép);-;

a) S=\(1-3+3^2-3^3+...+3^{98}-3^{99}.\)

=\((1-3+3^2-3^3)+...+3^{96}-3^{97}+3^{98}-3^{99}.\)

=\(\left(1-3+3^2-3^3\right)+..+3^{96}\left(1-3+3^2-3^3\right)\)

=(\(1-3+3^2-3^3\))(1+\(3^4+...+3^{92}+3^{96})\)

=-20(1+\(3^4+...+3^{92}+3^{96})\)là bội của -20

b)S = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 +...+ 3^98 - 3^99

=> 3S= 3 - 3^2 + 3^3 - 3^4 +...+ 3^99 - 3^100

=> 3S+S = 1 - 3^100

=>4S=1 - 3^100

=> S = \(\frac{1-3^{100}}{^4}\)

Do S chia hết cho -20 nên S chia hết cho 4 do đó 1-3^100 chia hết cho 4 suy ra 3^100 chia 4 dư 1

Bạn có làm được câu b) không vậy