\(x^2+y^2-z^2>0\Rightarrow x^2+2xy+y^2-z^2>0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-z^2>0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-z\right)\left(x+y+z\right)>0\)

Mà x;y;z>0 \(\Rightarrow x+y+z>0\)

\(\Rightarrow x+y-z>0\)

bạn cảm ơn ai vay có bn ấy có giup bn làm đau

mk chua hok den nen ko co bit lam

cảm ơn b nhé

b1:

x-y=5->x=y+5

->x-3y/5-2y=y+5-3y/5-2y=5-2y5-2y=1

->đpcm

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

Ta có bất đẳng thức $a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2}

$⇔2.(a^2+b^2) \geq (a+b)^2$

$⇔(a-b)^2 \geq 0$ (đúng)

Áp dụng bất đẳng thức trên cho $\dfrac{x}{y}$ và $\dfrac{y}{x}$ có:

$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} $

$\geq \dfrac{(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2}{2}$

Hay $2.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) có:

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 2.\sqrt[]{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2$

Nên $(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}).(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}) \geq 2.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

Hay $ (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2  \geq 2.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

Suy ra $2.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \geq 2.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

Hay $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})(đpcm)$

Dấu $=$ xảy ra $⇔x=y$

Mình đã làm được rồi

Ta có: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)

+) TH1: x + y + z = 0 => x + y = -z ; x + z = -y; y + z = -x

Do đó: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x}{-x}+\frac{y}{-y}=\frac{z}{-z}=-3\)\(\ne1\)loại

+) TH2: x + y + z \(\ne0\)

\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)

<=> \(\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}=x+y+z\)

<=> \(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{z+x}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z\)

<=> \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)( đpcm)