Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=\left(2m+1\right)x+3m\)

=>\(x^2-\left(2m+1\right)x-3m=0\)(1)

a=1; b=-2m-1; c=-3m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía so với trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

=>a*c<0

=>-3m<0

=>m>0

Pt hoành độ giao điểm: 

\(x^2=2x+m\Leftrightarrow x^2-2x-m=0\) (1)

(d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow ac< 0\Leftrightarrow-m< 0\Rightarrow m>0\)

PTHĐGĐ là:

x^2-2x+m-3=0

Để (P) cắt (d) hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì m-3<0

=>m<3

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x²=(m-1)x+m+4

<=>x²-(m-1)x-m-4=0

\(\Delta=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-4.\left(-m-4\right)=m^2-2m+1+4m+16\)

\(=m^2+2m+17=\left(m+1\right)^2+16>0\)

=>(P) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt

Theo định lí viet ta có: \(x_1.x_2=-m-4\)

Để (P) cắt (d) tại 2 điểm nằm về 2 phía trục tung thì hai nghiệm x₁ và x₂ phải trái dấu

=>\(x_1.x_2=-m-4<0\Leftrightarrow m>-4\)

Vậy m>-4 thì ...................

1, Do hàm số trên cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 hay hàm số trên đi qua A(3;0) 

<=> \(0=6+b\Leftrightarrow b=-6\)

2, Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2-\left(m-1\right)x-m+4=0\)

Để (P) cắt (d) tại 2 điểm pb nằm về 2 phía trục tung khi pt có 2 nghiệm trái dấu hay 

\(x_1x_2=-m+4< 0\Leftrightarrow-m< -4\Leftrightarrow m>4\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm 

\(x^2=\left(m-1\right)x+m+4\Leftrightarrow x^2-\left(m-1\right)x-m-4=0\text{ }\left(\text{*}\right)\)

để d cắt P tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

khi đó điều kiện \(\Leftrightarrow-m-4< 0\Leftrightarrow m>-4\)

- Xét pt hoành độ gd....:

x²-(m-1)x-m-4=0 (1)

- để (P) cắt (d) tại 2 đm nằm về 2 phía của trục tung thì pt(1) có 2 nghiệm trái dấu nhau

- \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(-m-4\right)>0\\P=x_1x_2=-m-4< 0\Leftrightarrow m>-4\end{matrix}\right.\)

Vậy với m>-4 thì ....