e tham khảo:

  1/ Phần này đơn giản thôi bạn! Khi chứng minh tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuồn là trung điểm cạnh huyền thì ta chứng minh ngược lại là trung điểm của cạnh huyền trong 1 tam giác vuông là tâm của đường tròn ngoại tiếp. 
Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A và O là trung điểm của cạnh huyền BC 
=> AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
=> OA = OB =OC = 1/2 BC 
=> O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
Vậy .... 
2/ Giả sử ta có tam giác ABC có BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
=>OA = OB =OC (*) 
mà BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp 
=> O là trung điểm BC 
=> OB = OC = 1/2 BC(**) 
từ (*) và (**) => OA = OB = OC = 1/2 BC 
=> tam giác ABC vuông tại A 

@Nhoc_sieu_pham đây là toán lớp 7 mà, sao lại giải cách lớp 9 như vậy được?

1> Giả sử đó là tam giác vuông ABC, trung tuyến AM. Trên tia đối MA lấy điểm H sao cho M là trung điểm của AH.

=>MA=MH=1/2AH(*)

\(\Delta AMC=\Delta BMH\left(c.g.c\right)\)

=>\(\widehat{CAM}=\widehat{BHM}\)và AC=BH

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trrong của 2 đường thẳng AC và BH

=> AC // BH

mà AC L AB => BH L AB => \(\widehat{ABH}=90^o\)

Xét \(\Delta ABC\)và\(\Delta BAH\)có

AC=BC

\(\widehat{BAC}=\widehat{ABH}=90^o\)

cạnh chung AB

=> \(\Delta ABC=\Delta BAH\left(c.g.c\right)\)

=> BC=AH(**)

Lại có MB=MC=1/2BC(***)

Từ (*),(**),(***)=> MA=MB=MC=1/2BC (đpcm)

a: BC=15cm

AM=7,5cm

Xét tứ giác AMIN có 

Tứ giác AMIN có 3 góc vuông nên là HCH                                                         Tứ giác AICD có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành mà hình bình hành có 2 đường chéo vuông                                  Nên tứ giác AICD là hình thoi (dhnb)                                                                                           

a) + ΔABH vuông tại H, đg trung tuyến HP

=> \(HP=\frac{1}{2}AB\Rightarrow HP=AP\)

=> P nằm trên đg trung trực của AH

+ Tương tự : \(HN=\frac{1}{2}AC\) => HN = AN

=> N nằm trên đg trung trực của AH

Do đó : NP là đg trung trực của AH

b) + NP là đg trung bình của ΔABC

=> NP // BC => NP // HM

=> Tứ giác HMNP là hình thang (1)

+ MP là đg trung bình của ΔABC

\(\Rightarrow MP=\frac{1}{2}AC\Rightarrow MP=HN\) (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra tứ giác HMNP là hình thang cân

c) Bn chắc chắn O là giao điểm của BP và AC ???

\(O\equiv A\) ???