ta có bđt cần chứng minh 

\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\Leftrightarrow\sqrt{xy+z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge1+\sqrt{xy}\)

Áp dụng bđt bu nhi ta có 

\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\) (1)

mà x+y+z=1\(\Rightarrow xy+z=xy+z\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)

áp dụng bu nhi a ta có \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\) (2)

từ (1) và (2) => \(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge x+y+z+\sqrt{xy}=1+\sqrt{xy}\)

1/cho x>2014. Chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}\) + \(\frac{\sqrt{x-2014}}{x}\)\(\le\)\(\frac{1}{2\sqrt{2015}}\)+\(\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)(bằng cách đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy)

2/cho x,y,z>0. chứng minh BĐT sau:

\(\frac{x}{2x+y+z}\)+\(\frac{y}{x+2y+z}\)+\(\frac{z}{x+y+2z}\)\(\le\) 3/4  (bằng cách đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy)

các bạn giải thật kĩ giúp nha! nếu giải bằng cách đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy không được thì suy nghĩ cách khác giúp mình nhé. Mình đang cần gấp. Thanhks

Xét vế trái :

Do a,b,c >0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)

Xét vế phải ta có: a,b,c>0

Áp dụng bđt Cô-si:

\(a+b+c\ge2\sqrt{\left(a+b\right)c}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)c}}\ge\frac{2}{x+y+z}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự ta có:

\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\)

\(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge2\left(2\right)\)

Từ (1) (2) suy ra đpcm

@anh alibaba nguyễn

Đề: Cho x, y, z không âm và x + y + z = 3. Tìm min của \(A=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)

Trong bài này em sử dùng các bđt sau: \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}\ge\sqrt{b}+\sqrt{a+b+c}\)

và \(\sqrt{a}+\sqrt{c}\ge\sqrt{a+c}\)

Đẳng thức xảy ra khi a hoặc c = 0

Áp dụng vào ta có: \(A\ge\sqrt{y}+\sqrt{x+y+z}+\sqrt{z+x}\)

\(\ge\sqrt{x+y+z}+\sqrt{x+y+z}=2\sqrt{x+y+z}=2\sqrt{3}\)

Đẳng thức em chả biết xét thế nào nữa:(