Ta có:\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2012^2}>0\)

Vì:  \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3^2}>\frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{4^2}>\frac{1}{3.4}\)

..........

\(\frac{1}{2012^2}>\frac{1}{2011.2012}\)

\(\Rightarrow A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2011.2012}\)

\(\Rightarrow A<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)

\(\Rightarrow A<1-\frac{1}{2012}\)

\(\Rightarrow A<1\)

Vì A>0;A<1

=>A không phải số tự nhiên

=>ĐPCM

Quy đồng A lên thì tử số chia hết cho 2011² còn mẫu số không chia hết cho 2011² vì có \(\frac{1}{2011^2}\) khi quy đồng thì tử không chia hết cho 2011²

Vậy A không phải là số tự nhiên

chọn đúng cho mk nha

\(S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{1012^2}\)

\(S=1+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{1024144}\right)\)

\(S=1+\left(\frac{1}{2\cdot2}+\frac{1}{3\cdot3}+...+\frac{1}{2012\cdot2012}\right)\)

\(S=1+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2012}\right)\)

\(S=1+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2012}\right)\)

\(S=1+\frac{1005}{2012}\)

\(S=\frac{3017}{2012}\)

\(S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2012^2}\)

\(< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2011.2012}\)

\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)

\(=2-\frac{1}{2012}< 2\)

mà \(S>1\)

do đó ta có đpcm. 

Xét 1/2 + 1/3 + 1/4 
1/2 + 1/4 = (2+4)/(2.4) = 2.3/[(3-1)(3+1)] = 2.3/(3^2 - 1) > 2.3/3^2 = 2/3 = 2.(1/3) 
---> 1/2+1/3+1/4 > 3.(1/3) = 1 (1) 
Lại xét 1/5 + 1/6 + ... + 1/9 + ... + 1/13 
1/8+1/10 = (8+10)/(8.10) = 2.9/(9^2 - 1) > 2.9/9^2 = 2/9 = 2.(1/9) 
Tương tự cm được 1/7+1/11 > 2.(1/9) ; 1/6+1/12 > 2.1/9; ...; 1/5+1/13 > 2.1/9 
---> 1/5+1/6+ ... + 1/13 > 9.(1/9) = 1 (2) 
Tg tự, cm được 1/14+1/15+ ... + 1/38 > 25.(1/25) = 1 (3) 
(1),(2),(3) ---> A> 3 (*) 
Mặt khác 
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 (4) 
1/4 + 1/5 + 1/20 = 1/2 (5) 
1/7 + 1/8 + 1/9 < 3.(1/7) = 3/7 (6) 
1/10+1/11+ ...+1/14 < 5.(1/10) = 1/2 (7) 
1/15+1/16+ ...+1/19 < 5.(1/15) = 1/3 (8) 
1/21+1/22+ ...+1/26 < 6.(1/21) = 2/7 (9) 
1/27+1/28+ ...+1/50 < 24.(1/27) = 8/9 (10) 
Cộng (4),(5),(6),(7), (8),(9),(10) ---> a < 2 + 5/7 + 11/9 < 2 + 7/9 + 11/9 = 4 (**) 
Từ (*) và (**) ---> 3 < a < 4 ---> a ko phải là số tự nhiên. 

A=\(\frac{1}{1^2}\)+\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+...+\(\frac{1}{2013^2}\)

A=1+\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+...+\(\frac{1}{2013^2}\)>1

A=1+\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+...+\(\frac{1}{2013^2}\)<1+\(\frac{1}{1\cdot2}\)+\(\frac{1}{2\cdot3}\)+...+\(\frac{1}{2012\cdot2013}\)

A<1+1-\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{3}\)+...+\(\frac{1}{2012}\)-\(\frac{1}{2013}\)

A<2-\(\frac{1}{2013}\)<2

=>A<2

Vì A>1;A<2=>1<A<2

=>A không phải là STN

Ta có: A > 0 (Vì A gồm các phân số dương)

Ta lại có:

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2014.2015}_{ }+\frac{1}{2015.2016}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2016}< 1\)

\(\Rightarrow A< 1\)

Vì \(0< A< 1\) nên A không phải là số tự nhiên (đpcm)

ta thấy 1/2^2;...;1/2016^2 >0=> A>0

lại thấy 1/2^2<1/1.2 ;.....;1/2016^2 < 1/2015.2016

=> A<1

=> 0<A<1 => Ako là stn

ta co: \(\frac{1}{2.2}\) <\(\frac{1}{1.2}\)       ;       \(\frac{1}{3.3}\) < \(\frac{1}{2.3}\)         ; .............         ;    \(\frac{1}{2016.2016}\) < \(\frac{1}{2015.2016}\)

=> 0 < \(\frac{1}{2015.2016}\) <1

Vay A ko phai la so tu nhien

Ta thấy A = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2+...+ 1/2016^2

=> A < 1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) +....+ 1/(2015.2016)

=> A < 1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/2015-1/2016

=> A < 1 - 1/2016 < 1

Mặt khác :1/2^2 > 0

1/3^2 > 0 

1/4^2 > 0

..........

1/2016^2 > 0

=> A > 0

=> 0<A<1

=> A ko phải số tự nhiên

Vậy a ko phải số tự nhiên

Ta có: \(\frac{1}{2^2}>0\)

           \(\frac{1}{3^2}>0\)

           ................

            \(\frac{1}{100^2}>0\)

\(\Rightarrow A>0\left(1\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

          \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

           ...................

            \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{100}< 1\)

\(\Rightarrow A< 1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow0< A< 1\)

Vậy A ko là STN.

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

...

\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=1-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{99}{100}< 1\)

Vậy A không phải là một số tự nhiên

t mik nha