-Gọi G là trọng tâm của △ABC đều \(\Rightarrow\)G cũng là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp △ABC.

\(\Rightarrow AG=BG;\)AG là p/g của \(\widehat{BAC};\)BG là p/g của \(\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\widehat{DBG}=\widehat{EAG}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

-△BDG và △AEG có: 

\(\widehat{DBG}=\widehat{EAG}\)

\(BD=AE\)

\(BG=AG\)

\(\Rightarrow\)△BDG=△AEG (c-g-c) nên \(DG=EG\)

\(\Rightarrow\)Đg trung trực của đoạn DE luôn đi qua 1 điểm cố định khi D,E thay đổi (điểm đó là G-trọng tâm của △ABC)

Tham khảo:

Nếu D trùng B thì E sẽ trùng với A

=>Đường trung trực của DE là trung trực của AB

Nếu D trùng A thì E trùng với C

=>Đường ttrung trực của DE là trung trực của AC

Vẽ các đường trung trực của AB,AC, cắt nhau tại O

Gọi H,I lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>OI vuông góc AC, OH vuông góc AB

Xét ΔOHB vuông tại H và ΔOIC vuông tại I có

OB=OC

HB=IC

=>ΔOHB=ΔOIC

=>OH=OI

ΔABC đều có O là giao của các đường trung trực

nên AO,BO lần lượt là phân giác của góc BAC, góc ABC

=>góc OAE=góc OBD=30 độ

=>ΔOAE=ΔOBD

=>OD=OE

=>O nằm trên trung trực của DE

=>ĐPCM

Trên cạnh CA lấy điểm K sao cho CK = AB. Gọi G là giao điểm của các đường trung trực của AK và BC.

Theo tính chất đường trung trực, ta có: GA = GB, GA = GK

Xét \(\Delta GBA\)và \(\Delta GCK\)có:

    AG = KG (cmt)

   AB = KC (theo cách chọn điểm phụ)

   GB = GC (cmt)

Do đó \(\Delta GBA\)\(=\Delta GCK\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{GBD}=\widehat{GCE}\)(hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta GBD\)và \(\Delta GCE\)có :

      GB = GC (cmt)

      \(\widehat{GBD}=\widehat{GCE}\)(cmt)

      BD = CE (gt)

Do đó \(\Delta GBD\)\(=\Delta GCE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow GD=GE\)(hai cạnh tương ứng)

Vậy đường trung trực của DE luôn đi qua điểm cố định G.(đpcm)