Giúp mình giải với mấy bạn ơi
Giả sử a, b là hai số nguyên dương thay đổi thỏa mãn (ab+1)/(a+b) <3/2 . Hãy tìm GTLN của biểu thức P = (a^3 * b^3 +1)/(a^3 +b^3 )
Giả sử a, b là hai số nguyên dương thay đổi thỏa mãn (ab+1)/(a+b)<3/2 hãy tìm GTLN của P= (a^3 * b^3 +1)/(a^3 +b^3
)
\(\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}\Rightarrow2ab+2< 3a+3b\Rightarrow2ab+2-3a-3b< 0\)
\(\Leftrightarrow a\left(2b-3\right)+2-3b< 0\Rightarrow2a\left(2b-3\right)+4-6b< 0\)
\(\Leftrightarrow2a\left(2b-3\right)-3\left(2b-3\right)< 5\Leftrightarrow\left(2a-3\right)\left(2b-3\right)< 5\)
Giả sử \(a\le b\Rightarrow-1\le2a-3\le2b-3\)(vì a,b nguyên dương)
Nếu \(2a-3=-1\Rightarrow a=1\Rightarrow P=1\left(1\right)\)Nếu \(2a-3=1\Rightarrow a=2\)+)Nếu \(2b-3=1\Rightarrow b=2\Rightarrow P=\frac{65}{16}\left(2\right)\)
+)Nếu \(2b-3=3\Rightarrow b=3\Rightarrow P=\frac{31}{5}\left(3\right)\)
Vậy so sánh \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow P_{Max}=\frac{31}{5}\)
Mấy cậu ơi giúp mình với. Gấp gấp ạ😘😘
Cho hai số tự nhiên a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 2019. Tìm giá trị lớn nhất của P= a.b
Do vai trò của \(a,b\)là như nhau nên giả sử \(a\ge b\).
Ta có nhận xét rằng \(ab\)lớn nhất khi giá trị của \(a\)và \(b\)bằng nhau hoặc \(a-b=1\).
Nếu \(a-b>1\): ta thay tích \(ab\)bởi tích \(\left(a-1\right)\left(b+1\right)\)được
\(\left(a-1\right)\left(b+1\right)-ab=ab+a-b-1-ab=a-b-1>0\)
do đó \(a-b\le1\).
Vì \(a,b\)là số tự nhiên mà \(a+b=2019\)là số lẻ nên \(P\)đặt max tại \(a-b=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1010\\b=1009\end{cases}}\).
Vậy \(maxP=1010.1009\).
GIÚP MÌNH VS MẤY BẠN ƠI
cho a,b là các số dương thỏa mãn a3+b3=b5+a5
CM a2+b2 bé hơn hoặc bằng 1+ab
Mấy bạn ơi giúp mình với.
Cho hai số dương a, b thỏa mãn \(a+b\le3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\frac{1}{3ab}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{b+1}}\)
Cho hai số nguyên dương \(a;b\) với \(b>1\) và thỏa mãn điều kiện \(A=\dfrac{a^2}{2.a.b^2-b^3+1}\) là số nguyên dương. Chứng minh rằng \(A\) là số chính phương.
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
\(\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=m\in Z^+\Rightarrow a^2-2mb^2a.+mb^3-m=0\)
\(\Rightarrow\Delta=4m^2b^4-4mb^3+4m\) là SCP (1)
Ta dễ dàng chứng minh được:
\(4m^2b^4-4mb^3+4m>\left(2mb^2-b-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4m\left(b^2+1\right)>\left(b+1\right)^2\)
Đúng do: \(2m.2\left(b^2+1\right)\ge2m\left(b+1\right)^2>\left(b+1\right)^2\)
Tương tự, ta cũng có: \(4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+4m\left(b^2-1\right)>0\) (luôn đúng với b>1;m>0)
\(\Rightarrow\left(2mb^2-b-1\right)^2< 4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4m^2b^4-4mb^3+4m=\left(2mb^2-b\right)^2\)
\(\Rightarrow b^2=4m\)
\(\Rightarrow b\) chẵn \(\Rightarrow b=2k\Rightarrow m=k^2\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow a^2-8k^4a+8k^5-k^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-k\right)\left(a-8k^4+k\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=k\\a=8k^4-k\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của pt là: \(\left(a;b\right)=\left(k;2k\right);\left(8k^4-k;2k\right)\) với k nguyên dương
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ac+abc = 4. CMR: \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\le3\)
CÁC BẠN ƠI GIÚP MÌNH BÀI NÀY VỚI
Đặt \(x=\sqrt{bc};y=\sqrt{ca};z=\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+xyz=4\)\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4=2\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y-z\right)+4=\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\)\(\le\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
Đặt \(t=x+y+z\Rightarrow\left(t-6\right)^3+27\left(t^2-4t+4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+6\right)^2\le0\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
Mình chưa hiểu ở dòng thứ 3 tại sao bạn lại đánh giá đc nó nhỏ hơn hoặc bằng \(\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
1) Cho 2 số dương x;y thay đổi thỏa mãn xy=2.
Tìm GTNN của M=\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}\)
2) Cho a,b là các số dương thay đổi thỏa mãn a+b=2.
Tìm GTNN của Q=\(2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
mọi người giúp mình 2 bài này với, xin cảm ơn
Giả sử n là một số nguyên dương thỏa mãn: Tồn tại a, b, c nguyên dương sao cho 7n = (a+bc)(b+ac). CMR: n chẵn
Với a,b là hai số nguyên dương thỏa mãn : 1/a+1/b=1/4 . Tìm hai số nguyên dương a và b đó