Vô số, với x là số lẻ và lớn hơn 2

Với mọi x lẻ và x>2

\(x^2-2y^2=5\Leftrightarrow x^2-\left(\sqrt{2}.y\right)^2=5\Rightarrow\left(x-\sqrt{2}.y\right)\left(x+\sqrt{2}.y\right)=5=1.5=5.1\) (vì đề yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương nên chỉ lấy những ước dương của 5)

Mà x;y nguyên dương nên hiển nhiên \(x-\sqrt{2}.y< x+\sqrt{2}.y\)

Do đó \(\left(x-\sqrt{2}.y\right)\left(x+\sqrt{2}.y\right)=1.5\)

+\(x-\sqrt{2}.y=1\) \(\Rightarrow x=\sqrt{2}.y+1\left(1\right)\)

+\(x+\sqrt{2}.y=5\Rightarrow x=5-\sqrt{2}.y\)

Cộng theo vế của đẳng thức trên ta đc:

\(2x=\sqrt{2}.y+1+3-\sqrt{2}.y=4\Rightarrow x=2\)

Từ đó suy ra \(y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vì x;y nguyên dương nên PT vô nghiệm

mình chưa học lớp 8 nhe bạn mình xin lỗi mong bạn thông cảm

y chia hết cho 5=> x chia hết cho 5=> vế trái chia hết cho 25, vô lí

y chia 5 dư 1;4 thì 2y^2 chia 5 dư 2 nên x^2 chia 5 dư 2, vô lí

y chia 5 dư 2,3 thì 2y^2=2 chia 5 dư 3 nên x^2 chia 5 dư 3, vô lí

Vậy pt k có ng nguyên

\(x^2+x+xy-2y^2-y=5\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x+2xy-4y^2-2y=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+2y+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)\)\(-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+1\right)^2+\left(x+y\right)^2-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)^2-4y^2\right]+\left[\left(x+y\right)^2-\left(y+1\right)^2\right]=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2y+1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1+x-1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(2x-2y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Vì \(x,y>0\left(x,y\inℤ\right)\Rightarrow x+2y+1\inℤ^+\)

Mà \(\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Do đó \(\left(x-y\right)\inℤ^+\)

Vì \(x+2y+1\ge x-y>0\)(vì \(x;y\in Z^+\))

\(\Rightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5.1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+1+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y+2=5\\x=y+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y=3\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}}\)(thỏa mãn \(x,y\inℤ^+\))

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)

Lưu ý : tớ ghi \(ℤ^+\)là chỉ số nguyên dương, ghi vào vở bạn nên ghi là "số nguyen dương" thôi.

bạn ơi đề khó nhìn vậy  

\(pt\Leftrightarrow x^2-x+2x-2+2y^2-2xy^2+y-xy=1\\ \Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(2y^2+y-x-2\right)=1\)

e tự xét 2 th ra

\(x^2=y^2+2y+13\)

\(\Leftrightarrow x^2=\left(y^2+2y+1\right)+12\)

\(\Leftrightarrow x^2=\left(y+1\right)^2+12\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+1\right)^2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right).\left(x+y+1\right)=12\)

do x,y nguyên dương nên \(x-y-1;x+y+1\inƯ\left(12\right)=\left\{1;2;3;4;6;12\right\}\)

xy nguyên dương \(\Rightarrow x+y+1>x-y-1\)

từ đó ta có bẳng sau

vậy cặp giá trị (x;y) thỏa mãn là:x=4;y=1

Có:x^2=y^2+2y+13

=>x^2=(y^2+2y+1)+12

=>x^2=(y+1)^2+12

=>x^2-(y+1)^2=12

=>(x-y-1)(x+y+1)=12

vì x, y là các số nguyên dương

=>x-y-1<x+y+1

Xét các trường hợp

TH1:x-y-1=1 và x+y+1=12

=> x-y=2 và x+y=11

=>x=6.5 và y=4.5 (Loại vì x,y là các số nguyên dương)

TH2: x-y-1=2 và x+y+1=6

=>x-y=3 và x+y=5

=>x=4 và y=3 (Thỏa mãn)

TH3:x-y-1=3 và x+y+1=4

=>x-y=4 và x+y=3(Loại vì x-y<x+y)

Vậy x=4, y=3

\(x^2=y^2+2y+13\)

\(x^2=y^2+2y+1+12\)

\(x^2=\left(y+1\right)^2+12\)

\(x^2-\left(y+1\right)^2=12\)

\(\left(x-y-1\right)\left(x+y+1\right)=12\)

Vì \(x,y\in N\Rightarrow x+y+1>x-y-1\)

Mà \(\left(x-y-1\right),\left(x+y+1\right)\inƯ\left(12\right)\)

Đến đây lập bảng là xog r bạn.

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-3\right)y=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{x^2+1}{2x^2-3}\)

\(y\in Z\Rightarrow2y\in Z\Rightarrow\dfrac{2x^2+2}{2x^2-3}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{5}{2x^2-3}\in Z\)

\(\Rightarrow2x^2-3=Ư\left(5\right)=\left\{-1;1;5\right\}\)

\(\Rightarrow x^2=\left\{1;2;4\right\}\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\)

- Với \(x=1\Rightarrow y=-2< 0\left(loại\right)\)

- Với \(x=2\Rightarrow y=1\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)