Lời giải:

Xét $f(x)=x^3+ax+b$ 

Vì $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ nên để $f(x)\vdots x^2+4x+3$ thì $f(x)\vdots x+1$ và $f(x)\vdots x+3$

Theo định lý Bê-du thì điều trên xảy ra khi:

$f(-1)=f(-3)=0$

$\Leftrightarrow (-1)^3+a(-1)+b=(-3)^3+a(-3)+b=0$

$\Leftrightarrow -a+b=1$ và $-3a+b=27$

$\Rightarrow a=-13; b=-12$

a) x³ + 127127 = x³  + (1313)³ = (x + 1313)(x² – x . 1313+ (1313)²)

=(x + 1313)(x² – 1313x + 1919)

b) (a + b)³ – (a - b)³    

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)² + (a + b) . (a – b) + (a – b)²]

= (a + b – a + b)(a² + 2ab + b² + a² – b² + a² – 2ab + b²)

= 2b . (3a³ + b²)

c) (a + b)³ + (a – b)³ = [(a + b) + (a – b)][(a + b)² – (a + b)(a – b) + (a – b)²]

= (a + b + a – b)(a² + 2ab + b² – a²  +b² + a² – 2ab + b²]

= 2a . (a² + 3b²)

d) 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ = (2x)³ + 3 . (2x)² . y  +3 . 2x . y + y³ = (2x + y)³

e) - x³ + 9x² – 27x + 27 = 27 – 27x + 9x² – x³ = 3³ – 3 . 3² . x + 3 . 3 . x² – x³ = (3 – x)³

Đa thức \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)có nghiệm \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy 1 và -2 là hai nghiệm của đa thức (x-1)(x+2)

Để đa thức \(f\left(x\right)=2x^4+ax^3+3x^2+4x+b\)chia hết cho (x-1)(x+2) thì  1 và -2 là cũng hai nghiệm của đa thức 

\(f\left(x\right)=2x^4+ax^3+3x^2+4x+b\)

Nếu x = -1 thì \(f\left(-1\right)=2-a+3-4+b=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=1\)(1)

Nếu x = 2 thì \(f\left(2\right)=32+8a+12+8+b=0\)

\(\Leftrightarrow52+8a+b=0\)

\(\Leftrightarrow8a+b=-52\)(2)

Lấy (1) + (2), ta được: \(9a=-51\Leftrightarrow a=\frac{-17}{3}\)

\(\Rightarrow b=\frac{-17}{3}-1=\frac{-20}{3}\)

Vậy \(a=\frac{-17}{3};b=\frac{-20}{3}\)

1: a=2

b: a=-6

c: \(\Leftrightarrow2x^3-6x^2+4x+x^2-3x+2+a-2⋮x^2-3x+2\)

=>a-2=0

=>a=2

d: \(\dfrac{5x^3+4x^2-6x-a}{5x-1}=\dfrac{5x^3-x^2+5x^2-x-5x+1-a-1}{5x-1}\)

\(=x^2+x-1+\dfrac{-a-1}{5x-1}\)

Để dư bằng -3 thì -a-1=-3

=>a+1=3

=>a=2