Chứng minh rằng trong 5 số thực bất kì luôn tồn tại 2 số nào đó, gọi là \(a,b\) thỏa \(\left|ab+1\right|>\left|a-b\right|\)
Bài 3 : (3đ)
1. Chứng minh rằng với hai số thực bất kì a,b ta luôn có : \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
2. Cho ba số thực a,b,c không âm sao cho \(a+b+c=1\)
Chứng minh : \(b+c\ge16abc\) . Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Nhân tiện em cũng hỏi luôn là tại sao khi em đăng bài mặc dù em đã điền đủ lớp môn ; mạng không lag mà sao vẫn không thể đăng bài được . Em phải mất tận 2 lần ghi lại đề bài mới có thể đăng bài được.
3.1
Xét hiệu :
\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)
\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)
Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)
3.2
Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:
\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)
nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )
Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)
Cho a,b,c là cá số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(c+1\right)}+\sqrt{c\left(a+1\right)}\le\frac{3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực bất kì.
Chứng minh rằng: \(-\frac{1}{8}< \frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(1-ab\right)\left(1-bc\right)\left(1-ca\right)}{\left(1+a^2\right)^2\left(1+b^2\right)^2\left(1+c^2\right)^2}< \frac{1}{8}\)
AI HELP Ạ
Cho a,b,c là cá số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(c+1\right)}+\sqrt{c\left(a+1\right)}\le\frac{3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{2}\)
Cảm ơn ạ
Lời giải:
Dấu "=" không xảy ra.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\leq \frac{a+(b+1)}{2}+\frac{b+(c+1)}{2}+\frac{c+(a+1)}{2}=\frac{2(a+b+c)+3}{2}\)
\(< \frac{3(a+b+c+ab+bc+ac+abc+1)}{2}=\frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{2}\)
Ta có đpcm.
Lần sau bạn lưu ý đăng 1 bài 1 lần thôi. Đăng nhiều lần coi như spam và sẽ bị xóa không thương tiếc đấy nhé.
Cho a,b,c là cá số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(c+1\right)}+\sqrt{c\left(a+1\right)}\le\frac{3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{2}\)
Dấu '' = '' không xảy ra
Áp dụng BĐT AM-GM:
Dấu "=" không xảy ra.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\leq \frac{a+(b+1)}{2}+\frac{b+(c+1)}{2}+\frac{c+(a+1)}{2}=\frac{2(a+b+c)+3}{2}\)
\(< \frac{3(a+b+c+ab+bc+ac+abc+1)}{2}=\frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{2}\)
Ta có đpcm.
Em thưa anh:
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(\frac{a}{a+1}\)và \(\frac{1}{c+1}\), ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}=\sqrt{\frac{a}{a+1}.\frac{1}{c+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{b}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)\)
\(\sqrt{\frac{c}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)
Công vế theo vế, ta có: \(\sqrt{\frac{a}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}+\sqrt{\frac{b}{\left(b+1\right)\left(a+1\right)}}+\sqrt{\frac{c}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}+\sqrt{\frac{b}{\left(b+1\right)\left(a+1\right)}}+\sqrt{\frac{c}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{3}{2}\)
Nhân cả hai vế với \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)(vì a,b,c>0 nên BĐT lúc này không đổi chiều), ta có đpcm.
Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a\left(a+b\right)}+\frac{1}{b\left(b+c\right)}+\frac{1}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta còn có:
Bất đẳng thức \(\frac{1}{a\left(a+b\right)}+\frac{1}{b\left(b+c\right)}+\frac{1}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{k\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(\frac{2}{9}-k\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
đúng với mọi a,b,c,k không âm (k = \(\text{constant}\))
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm \(a,b,c\) thỏa mãn không có hai số nào trong chúng có thể đồng thời bằng \(0\), bất đẳng thức sau luôn được thỏa mãn:
\(\frac{a}{a^2+3bc}+\frac{b}{b^2+3ca}+\frac{c}{c^2+3ab}\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{4\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
có 1 cách mà xài SOS xấu lắm chơi ko :))
tìm thấy rồi Tổng hợp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức-Tập 2: Luyện thi học sinh giỏi toán - Tổng hợp - Google Sách
đây nhé có phải là
\(a-\frac{a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a^3+3abc-a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{a^2+3bc}+\frac{3abc}{a^2+3bc}\)
Đến khi cộng vào thì phải là \(3abc\left(\frac{1}{a^2+3bc}+\frac{1}{b^2+3ac}+\frac{1}{c^2+3ab}\right)\ge\frac{3abc.9}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\)
CMR:
a) \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮2\) với a, b, c nguyên đôi 1 phân biệt
b) trong 5 số nguyên bất kì phân biệt tồn tại tổng 3 số chia hết cho 3
c) \(\left(x-y\right)^5+\left(y-z\right)^5+\left(z-x\right)^5⋮5\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\) với x, y, z nguyên đôi 1 phân biệt
4. Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kì đôi một khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất.
Chứng minh rằng qua mỗi điểm có không quá 5 đoạn thẳng
5. Cho 7 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 1706.
Chứng minh rằng tồn tại 3 số a, b, c trong chúng sao cho a<b+c<4a
6. Cho tập hợp \(X=\left\{1;\sqrt{2};\sqrt{3};...;\sqrt{2012}\right\}\)
Chứng minh rằng Trong 45 số khác nhau bất kì được lấy từ X luôn tồn tại 2 số a và b sao cho |a-b|<1
Bài 5:
Giả sử tồn tại 7 số không thỏa mãn điều kiện đề bài. Không mất tính quát, ta coi rằng \(x_1< x_2< ...< x_7\)
Do 7 số đã cho là các số nguyên dương nên :
\(x_2\ge x_1+1\)
\(x_3+x_1\ge4x_2\ge4\left(x_1+1\right)\Rightarrow x_3\ge3x_1+4\)
\(x_4+x_1\ge4x_3\ge4\left(3x_1+4\right)\Rightarrow x_4\ge11x_1+16\)
\(x_5+x_1\ge4x_4\ge4\left(11x_1+16\right)\Rightarrow x_5\ge43x_1+64\)
\(x_6+x_1\ge4x_5\ge4\left(43x_1+64\right)\Rightarrow x_6\ge171x_1+256\)
\(x_7+x_1\ge4x_6\ge4\left(171x_1+256\right)\Rightarrow x_7\ge683x_1+1024\)
Do x1 là số nguyên dương nên \(x_1\ge1\Rightarrow x_7\ge683+1024=1707>1706\) (Vô lý)
Vậy nên phải tồn tại bộ ba số thỏa mãn yêu cầu của đề bài.