CMR: Với mọi giá trị nguyên của x thì x^4+6x^3+11x^2+6x+1 luôn có giá trị là số chính phương
GIẢI GẤP GIÚP MÌNH NHA!!!
Cho đa thức f(x) = x4 + 6x3 +11x2 + 6x
a. Phân tích đa thức thành nhân tử
b. Chứng minh với mọi x nguyên thì f(x) + 1 luôn có giá trị là 1 số chính phương
f(x) = x4 + 6x3 +11x2 + 6x
\(=x^4+x^3+5x^3+5x^2+6x^2+6x\)
\(=\left(x^4+x^3\right)+\left(5x^3+5x^2\right)+\left(6x^2+6x\right)\)
\(=x^3\left(x+1\right)+5x^2\left(x+1\right)+6x\left(x+1\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(x^3+5x^2+6x\right)\)
\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)
\(=x\left(x+1\right)\left[x^2+2x+3x+6\right]\)
\(=x\left(x+1\right)\left[\left(x^2+2x\right)+\left(3x+6\right)\right]\)
\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)\right]\)
\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)
b)Ta có
\(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)
\(=\left[x\left(x+3\right)\right].\left[\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right]+1\)
\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2 +3x+2\right)+1\)
\(=\left(x^2+3x+1-1\right).\left(x^2+3x+1+1\right)+1\)
\(=\left[\left(x^2+3x+1\right)-1\right].\left[\left(x^2+3x+1\right)+1\right]+1\)
\(=\left(x^2+3x+1\right)^2-1+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\)
Vậy với mọi x nguyên thì f(x) + 1 luôn có giá trị là 1 số chính phương
Bài 1:
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}xy+2=2x+y\\2xy+y^2+3y=6\end{matrix}\right.\)
Bài 2:
cho đa thức: \(f\left(x\right)=x^4+6x^3+11x^2+6x\)
a, Phân tích f(x) thành phân tử
b, chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x)+1 luôn có giá trị là số chính phương
Câu 5:
Cho đường tròn (O), đường dính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho AI=\(\dfrac{2}{3}\) AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. gọi C là một điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E
a, Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b, Chứng minh AM\(^2\)=AE.AC
c, Chứng minh AE.AC-AI.BI=AI\(^2\)
GIÚP MÌNH VỚI Ạ, MÌNH CẢM ƠN NHIỀU!!
Bài 1:
\(\left\{{}\begin{matrix}xy+2=2x+y\left(1\right)\\2xy+y^2+3y=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Rightarrow xy-y+2-2x=0\)
\(\Rightarrow y\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Với \(x=1\). Thay vào (2) ta được:
\(2y+y^2+3y=6\)
\(\Leftrightarrow y^2+5y-6=0\)
\(\Leftrightarrow y^2+y-6y-6=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)-6\left(y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=6\end{matrix}\right.\)
Với \(y=2\). Thay vào (2) ta được:
\(2x.2+2^2+3.2=6\)
\(\Leftrightarrow4x+4+6=6\)
\(\Leftrightarrow x=-1\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x,y) \(\in\left\{\left(1;-1\right),\left(1;6\right),\left(-1;2\right)\right\}\)
Bài 2:
\(f\left(x\right)=x^4+6x^3+11x^2+6x\)
\(=x\left(x^3+6x^2+11x+6\right)\)
\(=x\left(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6\right)\)
\(=x\left[x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)+6\left(x+1\right)\right]\)
\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)
\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2x+6\right)\)
\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)\right]\)
\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)
b) Ta có: \(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)
\(=x\left(x+3\right).\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1\)
\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2+3x+2\right)+1\)
\(=\left(x^2+3x\right)^2+2\left(x^2+3x\right)+1\)
\(=\left(x^2+3x+1\right)^2\)
Vì x là số nguyên nên \(f\left(x\right)+1\) là số chính phương.
a. Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của tham số m phương trình \(\left(1-m^2\right)x^3-6x=1\) luôn có nghiệm
b. CMR với mọi GT của tham số m phương trình \(\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}.x+x-4=0\) luôn có nghiệm
Thầy bày em phương pháp giải dạng này được ko ạ . Em cảm ơn nhiều
Tìm 2 giá trị của x để hàm \(f\left(x\right)\) nhận kết quả trái dấu là được.
a.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)
Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\) (chọn \(x=0\) do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)
\(f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0\) với mọi m (để ý rằng ta đã có \(f\left(0\right)\) âm nên cần chọn x sao cho \(f\left(x\right)\) dương, mà \(-m^2\) nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành \(m^2\))
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\) với mọi m
Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm
b.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-4< 0\)
(Tới đây, nếu ta chọn tiếp \(x=3\) để triệt tiêu m thì cho \(f\left(3\right)=-1\) vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện \(m^2\) thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của \(m^2\) dương (nếu cần \(f\left(x\right)\) dương, còn cần \(f\left(x\right)\) âm thì chọn x sao cho hệ số \(m^2\) âm). Ở đây dễ nhất là chọn \(x=2\) , vì khi đó \(\left(3-2\right)^{2021}=1\) vừa đảm bảo hệ số \(m^2\) dương vừa dễ tính toán, nếu chọn \(x=1\) cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)
\(f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2\)
\(=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow\) hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;2\right)\) với mọi m
Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m
Cho f(x) = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) + 1. CMR f(x) luôn có giá trị chính phương với mọi x nguyên
\(f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)+1\)
\(f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+1\)
\(f\left(x\right)=\left(x^2+5x+2x+10\right)\left(x^2+4x+3x+12\right)+1\)
\(f\left(x\right)=\left(x^2+7x+10\right)\left(x^2+7x+12\right)+1\)
\(f\left(x\right)=\left(x^2+7x+11-1\right)\left(x^2+7x+11+1\right)+1\)
\(f\left(x\right)=\left(x^2+7x+11\right)^2-1+1\)
\(f\left(x\right)=\left(x^2+7x+11\right)^2\Leftrightarrowđpcm\)
ƒ (x)=(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1
ƒ (x)=(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)+1
ƒ (x)=(x2+5x+2x+10)(x2+4x+3x+12)+1
ƒ (x)=(x2+7x+10)(x2+7x+12)+1
ƒ (x)=(x2+7x+11−1)(x2+7x+11+1)+1
ƒ (x)=(x2+7x+11)2−1+1
ƒ (x)=(x2+7x+11)2⇔đpcm
Cho f(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) + 1. CMR f(x) luôn có giá trị chính phương với mọi x nguyên
Bạn ơi hình như đề cho thừa thì phải
Vì nếu bạn thay x=2 thì f(x) ko cp
Sửa lại đề rùi nói cho mk , mk làm cho nha
cmr a(a+1)(a+2)(a+4)(a+5)(a+6)+36 là số chính phương với mọi a nguyên
CMR với mọi x nguyên thì \(x^4+6x^3+11x^2+6x+1\) là số cp
Ta có: x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1
= x(x3 + 6x2 + 11x + 6) + 1
= x(x3 + 3x2 + 3x2 + 9x + 2x + 6) + 1
= x[x2(x + 3) + 3x(x + 3) + 2(x + 3)] + 1
= x(x + 3)(x2 + 3x + 2) + 1
= (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) + 1
=> (x2 + 3x + 1 - 1)(x2 + 3x + 1 + 1) + 1
= (x2 + 3x + 1)2 - 1 + 1
= (x2 + 3x + 1)2
=> x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 là số chính phương
Giả sử pt có nghiệm thì nghiệm đó k phải là 0. Vì vậy ta có:
\(x^4+6x^3+11x^2+6x+1=x^2\left(x^2+6x+11+\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=x^2\left[\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11\right]\)
\(=x^2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11\right]\)
\(=x^2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+9\right]\)
\(=x^2\left(x+\frac{1}{x}+3\right)^2=\left(x^2+3x+1\right)^2\) là scp
CMR: giá trị của biểu thức sau là 1 số chính phương với mọi giá trị nguyên của x
x(x +2) (x+3) (x + 5 ) +9
\(x\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)+9\)
\(=\left(x^2+5x\right)\left(x^2+5x+6\right)+9\)
Đặt \(x^2+5x+3=a\),ta có
\(\left(a-3\right)\left(a+3\right)+9\)
\(=a^2-9+9\)
\(=a^2\)
Vậy biểu thức đã cho là số chính phương
Cho phân số C=\(\dfrac{6x-1}{3x+2}\) . Tìm x ϵ Z để C có giá trị là một số nguyên và M= 5x+11 có giá trị là một số chính phương
Ai đúng và nhanh tick nha
Để C có giá trị là một số nguyên
⇒ 6x-1 : 3x+2
3x+2 : 3x+2
⇒ 6x-1 : 3x+2
2(3x+2) : 3x+2
⇒ 6x-1 : 3x+2
6x+4 : 3x+2
⇒ (6x+4) - (6x-1) :3x+2
⇒ 6x+4 - 6x+1 : 3x+2
⇒ 5 : 3x+2
⇒3x+2 thuộc Ư(5) = 5;-5;-1;1
⇒x = 1;-1
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức :
B = ( 3x-5)(2x-11) - (2x+3)(3x+7) ko phụ thuộc vào x
F= (6x+1)2 - ( 3x-4)(3x + 4) - 1,5(18x2+1) + 2,5 luôn chia hết cho 6 với mọi x là số nguyên
mọi người giúp mình 2 câu này với