a, Ta thấy:  3 n + 2 + 3 n = 3 n . 3 2 + 3 n

=  3 n 3 2 + 1 =  3 n . 10 chia hết cho 10

=>  3 n + 2 + 3 n  chia hết cho 10, n ∈ N

b,  7 n + 4 - 7 n = 7 n . 7 4 - 7 n

7 n 7 4 - 1 = 7 n . 2400 chia hết cho 30

=> 7 n + 4 - 7 n  chia hết cho 30, n ∈ N

Lời giải:
Vì $7^n$ không chia hết cho $3$ với mọi $n\in\mathbb{N}$ nên $7^n$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$ với $k\in\mathbb{N}$

Nếu $7^n=3k+1$ thì:

$(7^n+1)(7^n+2)=(3k+2)(3k+3)=3(3k+2)(k+1)\vdots 3(1)$

Nếu $7^n=3k+2$ thì:

$(7^n+1)(7^n+2)=(3k+3)(3k+4)=3(k+1)(3k+4)\vdots 3(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra $(7^n+1)(7^n+2)$ luôn chia hết cho $3$

\(A=n^3-n-6n\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6n\)

Vì n;n-1;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3!=6\)

hay A chia hết cho 6

khó quá

\(A=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

Vì n-2;n-3 là hai số liên tiếp

nên (n-2)(n-3) chia hết cho 2

=>A chia hết cho 2

TH1: n=3k

=>n-3=3k-3 chia hết cho 3

TH2: n=3k+1

=>2n+1=6k+2+1=6k+3 chia hết cho 3

TH3: n=3k+2

=>n+1=3k+3 chia hết cho 3

=>A chia hết cho 6