a: Xét ΔPMN có

F,E lần lượt là trung điểm của PM,PN

=>FE là đường trung bình của ΔPMN

=>FE//MN và \(FE=\dfrac{MN}{2}\)
Ta có: FE//MN

D\(\in\)MN

Do đó: FE//MD

Ta có: \(FE=\dfrac{MN}{2}\)

\(MD=DN=\dfrac{MN}{2}\)

Do đó: FE=MD=ND

Xét tứ giác MDEF có

FE//MD

FE=MD

Do đó: MDEF là hình bình hành

Hình bình hành MDEF có \(\widehat{FMD}=90^0\)

nên MDEF là hình chữ nhật

b: ta có: FE//MN

D\(\in\)MN

Do đó: FE//DN

Xét tứ giác NDFE có

FE//ND

FE=ND

Do đó: NDFE là hình bình hành

=>NF cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của DE

nên I là trung điểm của NF

=>N,I,F thẳng hàng

Bạn xem lời giải tại đây:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-mnp-vuong-tai-m-co-d-e-f-lan-luot-la-trung-diem-cua-mn-np-mpa-tu-giac-mdef-la-hinh-gi-vi-saob-goi-i-la-trung-diem-cua-de-chung-minh-3-diem-n-i-f-thang-hangc-chung-minh-if.8722192330796

Lời giải:

a. $D,E,F$ là trung điểm $MN,NP,MP$ nên $EF, DE$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với lần lượt 2 cạnh $MN, MP$

$\Rightarrow EF\parallel MN, DE\parallel MP$

Mà $MN\perp MP$ nên $EF\perp MP, DE\perp MN$

$\Rightarrow \widehat{EFM}=\widehat{EDM}=90^0$

Tứ giác $MDEF$ có 3 góc vuông $\widehat{M}=\widehat{D}=\widehat{F}$ nên là hình chữ nhật.

b.

Gọi $I'$ là giao điểm $NF$ và $DE$

Do $DE\parallel MP$ nên $DI'\parallel MF$

Áp dụng định lý Talet:

$\frac{DI'}{MF}=\frac{ND}{NM}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow MF=2DI'$

Mà $MF=DE$ (do $MFED$ là hcn) 

$\Rightarrow DE=2DI'$

$\Rightarrow I'$ là trung điểm của $DE$
$\Rightarrow I\equiv I'$

Mà $I', N, F$ thẳng hàng nên $I, N, F$ thẳng hàng.

c.

Có: $\frac{NI}{NF}=\frac{ND}{NM}=\frac{1}{2}$ nên $I$ là trung điểm $NF$

$DF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow DF=\frac{1}{2}NP\Rightarrow ME=DF=\frac{1}{2}NP$.

Khi đó ta có:

$NF.ME-IF.PE = 2IF.\frac{1}{2}NP-IF.PE$

$=IF.NP-IF.PE = IF(NP-PE) = IF.NE$

Hình vẽ:

a, Vì \(\widehat{KMH}=\widehat{KHD}=\widehat{KMD}=90^0\) nên MHDK là hcn

b, Vì \(PD=DN;DH//PM\left(\perp MN\right)\) nên \(MH=HN\)

Vì \(PD=DN;DK//MN\left(\perp PM\right)\) nên \(PK=KM\)

Tứ giác MDNE có H là trung điểm MN;DE và \(MN\perp DE\) tại H nên là hthoi

Tứ giác MDPF có K là trung điểm PM;DF và \(MP\perp DF\) tại K nên là hthoi

c, Vì MDNE và MDPF là hình thoi nên MF//PD;ME//DN

Mà PD trùng PN nên ME trùng MF hay M;F;E thẳng hàng

Vì MDNE và MDPF là hình thoi nên \(MF=PD;ME=DN\)

Mà \(PD=DN\) nên \(MF=ME\)

Vậy E đx F qua M

a) Xét ∆ABC có : 

D là trung điểm AB 

E là trung điểm BC 

=> DE là đường trung bình ∆ABC 

=> DE//AC , DE = \(\frac{1}{2}AC\)= \(\frac{16}{2}=8\)cm

Xét ∆ABC có : 

E là trung điểm BC 

F là trung điểm AC 

=> FE là đường trung bình ∆ABC 

=> FE//AB , FE = \(\frac{1}{2}AB=6cM\)

Xét tứ giác AFED có : 

AD//EF ( AB//FE , D\(\in\)AB )

DE//FA ( DE//AC , F \(\in\)AC )

=> AFED là hình bình hành 

Mà BAC = 90° 

=> AFED là hình chữ nhật 

=> DEF= EFA = FAD = ADE = 90° 

Vì F là trung điểm AC 

=> FA = FC = 8cm

Áp dụng định lý Py - ta -go vào ∆AEF ta có : 

AE² = FE² + AF² 

=> AE = 10cm

b) Xét ∆ABC ta có : 

D là trung điểm AB 

F là trung điểm AC 

=> DF là đường trung bình ∆ABC 

=> DF//BC  

Xét tứ giác BEFD ta có : 

BE//DF ( BC//DF , E \(\in\)BC )

BD//FE ( AB//FE , D\(\in\)AB )

=> BEFD là hình bình hành 

c) Chứng minh trên 

cho \(\Delta ABCD\)

a: Xét ΔMNP có

D là trung điểm của MP

E là trung điểm của MN

Do đó: DE là đường trung bình của ΔMNP

Suy ra: DE//NP

hay PDEN là hình thang vuông

DE=NP/2=11(cm)

a.Ta có MNPQMNPQ là hình bình hành

→MQ//NP,MQ=NP→MQ//NP,MQ=NP

Mà F,EF,E là trung điểm MQ,NPMQ,NP

→MF=FQ=12MQ=12NP=NE=EP→MF=FQ=12MQ=12NP=NE=EP

→FQ=NE→FQ=NE

→NFQE→NFQE là hình bình hành 

→NF//QE→QE//NK→NF//QE→QE//NK

→NEQK→NEQK là hình thang

b.Ta có MF//NE,MF=NEMF//NE,MF=NE

→MNEF→MNEF là hình bình hành

Mà NP=2MN→MN=12NP=NENP=2MN→MN=12NP=NE

→MNEF→MNEF là hình thoi

→ME⊥NF,EM→ME⊥NF,EM là phân giác ˆNEFNEF^

Tương tự FP⊥EQ,EQFP⊥EQ,EQ là phân giác ˆFEPFEP^

Lại có ˆNEF+ˆFEP=180o→ME⊥QENEF^+FEP^=180o→ME⊥QE

→GFHE→GFHE là hình chữ nhật

c.Để GFHEGFHE là hình vuông

→FE→FE là phân giác ˆGFHGFH^

→FE→FE là phân giác ˆNFPNFP^

→EF⊥NP→EF⊥NP

→MN⊥NP→MN⊥NP

→MNPQ→MNPQ là hình chữ nhật