a) +) Ta có\(\hept{\begin{cases}\widehat{OBM}+\widehat{MBD}=180^{0\left(kề\right)bù}\\\widehat{CAP}+\widehat{CAM}=180^0\left(kề\right)bù\end{cases}}\)

mà\(\widehat{MBO}=\widehat{CAM}\)(do tam giác OAB cân tại O)

=>\(\widehat{MBD}=\widehat{CAP}\)

+) xét tam giác CAP zà tam giác MBD có

PA=MB(gt)

AC=BD(gt)

\(\widehat{MBD}=\widehat{CAP}\left(cmt\right)\)

=> tam giác APC = tam giác BMD 

b) tam giác APC = tam giác BMD 

=>\(\widehat{CPA}=\widehat{BMD}\)(2 góc tương ứng

mà \(\widehat{BMD}=\widehat{CMA}\)(đối đính)

=>\(\widehat{CPA}=\widehat{CMA}\)

=> tam giác PCM cân

c) ta có ; tam giác CPA = tam giác BMD

                 tam giác PCM cân

=>\(\hept{\begin{cases}PC=MD\left(2canhtuongung\right)\\PC=CM\end{cases}}\)

=>\(MD=CM\)

             => M là trung điểm của CD

Hình bạn tự vẽ

a) Ta có :góc PAC =180 độ - góc OAB

    Ta lại có :góc DBM = 180 độ - góc OBA

    Mà góc OAB = góc OBA ( tính chất tam giác cân )

=> góc PAC = góc DBM

Kết hợp với AC =BD , AP = MB 

=> tam giác APC=tam giác BMD (c-g-c)

b) Vì tam giác APC=tam giác BMD

=> góc APC = góc BMD

Mà góc BMD= góc CMP ( đối đỉnh )

=> góc CPM = góc CMP nên tam giác CMP cân ở C

c) Vì tam giác APC=tam giác BMD => CP =MD

Vì tam giác CMP cân ở C => CM =CP

=> MD = MC mà M thuộc CD nên M là trung điểm CD

Bài làm

a) Ta có: \(\widehat{OAB}+\widehat{OAP}=180^0\)( hai góc kề bù )

\(\widehat{OBA}+\widehat{MBD}=180^0\)( hai góc kề bù )

Mà \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)( Do tam giác OAB cân ở O )

=> \(\widehat{OAP}=\widehat{MBD}\)

Xét tam giác APC và tam giác BMD có:

AC = BD ( gt )

\(\widehat{OAP}=\widehat{MBD}\)( cmt )

PA = MB ( gt )

=> Tam giác APC = tam giác BMD ( c.g.c )

b) Vì tam giác APC = tam giác BMD ( cmt )

=> \(\widehat{DMB}=\widehat{CPA}\)

Mà \(\widehat{BMD}=\widehat{CMA}\)( Hai góc đối )

=> \(\widehat{CMA}=\widehat{CPA}\)

=> Tam giác CMP cân ở C

c) Vì tam giác CMP cân ở C

=> CP = CM ( hai cạnh bên )

Mà CP = MD ( do tam giác APC = tam giác BMD )

=> CM = MD

=> M là trung điểm CD ( đpcm )

a) Ta có:

\(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\Rightarrow180^0-\widehat{OAB}=180^0-\widehat{OBA}\Rightarrow\widehat{CAP}=\widehat{MBD}\)Xét △CAP và △DBM có:

CA=DB(gt)

\(\widehat{CAP}=\widehat{DBM}\)(cmt)

AP=BM(gt)

⇒△CAP = △DBM (cgc)

b) Từ △CAP = △DBM (câu a)

\(\Rightarrow\widehat{CPA}=\widehat{DMB}\)(2 góc tương ứng) mà \(\widehat{DMB}=\widehat{CMP}\)(đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{CPA}=\widehat{CMP}\) hay \(\widehat{CPM}=\widehat{CMP}\)

⇒△CMP cân tại C

c) Từ △CAP = △DBM (câu a)⇒CP=DM mà CP=CM (△CMP cân tại C)

⇒DM=CM mà M nằm giữa C và D nên M là trung điểm của CD (đpcm)