đề bài sai

Điểm M và N

a: Xét ΔABC vuông tại A có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>\(\widehat{ABC}=90^0-30^0=60^0\)

Xét ΔBAM có BA=BM và \(\widehat{ABM}=60^0\)

nên ΔBAM đều

b: Ta có: ΔMAB đều

=>\(\widehat{MAB}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}\)

=>\(\widehat{MAC}+60^0=90^0\)

=>\(\widehat{MAC}=30^0\)

Xét ΔMAC có \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\left(=30^0\right)\)

nên ΔMAC cân tại M

=>MA=MC

mà MB=MA

nên MB=MC

=>M là trung điểm của BC

=>\(AM=MB=\dfrac{1}{2}BC\)

c: Ta có: ΔMAC cân tại M

mà MD là đường phân giác

nên MD\(\perp\)AC

Ta có: MD\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: MD//AB

a) Chứng minh tam giac AMB = tam giac DMC

Xét tam giác MAB và tam giác MDC, có

- MA = MD (M là trung điểm AD)

- MB = MD (M là trung điểm BD) 

- Góc M đối nhau

=> tam giác MAB = tam giác MDC (cạnh - góc - cạnh)  (đpcm)

b) Chứng minh DC vuông góc AC

Ta có góc BAC = 90 độ (tam giác ABC vuông tại A)

=> góc A1 + góc A2 = 90 độ

mà góc A1 = góc CDA (do tam giác MAB = tam giác MDC chứng minh trên)

=> góc ADC + góc A2 = 90 độ

Xét tam giác CAD,

có: góc ACD = 180 độ - (góc ADC + góc A2) = 180 độ - 90 độ = 90 độ

=> góc ACD = 90 độ

=> tam giác DAC vuông tại C

Ta có DC vuông góc AC tại C

và BA vuông góc AC tại A

=> BA // DC (đpcm)

c) AM = 1/2BC

Câu này áp dụng định lý: trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền => AM = 1/2 BC (đpcm)

Còn nếu yêu cầu phải trình bày cách làm, thì bạn làm như phía dưới:

Xét tứ giác ABDC có:

- BA = CD (do tam giác MAB = tam gia MDC (chứng minh trên)

- DC // BA

=> tứ giác ABDC là hình bình hành

và có góc A vuông

=> tứ giác ABDC là hình chữ nhật

=> 2 đường chéo của hình chữ nhật là AD = BC

mà M là trung điểm của AD và BC

=> AM = 1/2 BC (đpcm)

Lời giải:
a.

Xét tam giác $AMB$ và $EMC$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{EMC}$ (đối đỉnh)

$AM=EM$

$MB=MC$

$\Rightarrow \triangle AMB=\triangle EMC$ (c.g.c)

b.

Vì $\triangle AMB=\triangle EMC$ nên $\widehat{MAB}=\widehat{MEC}$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $EC\parallel AB$

Mà $AB\perp AC$ nên $EC\perp AC$ (đpcm)

c.

Vì $\triangle AMB=\triangle EMC$ nên:

$AB=EC$

Vì $EC\perp AC$ nên $\widehat{ECA}=90^0=\widehat{BAC}$

Xét tam giác $ECA$ và $BAC$ có:
$\widehat{ECA}=\widehat{BAC}=90^0$ (cmt)

$AC$ chung

$EC=BA$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ECA=\triangle BAC$ (c.g.c)

$\Rightarrow EA=BC$

Mà $EA=2AM$ nên $2AM=BC$ (đpcm)

Hình vẽ:

a) Xét tg AMB và EMC có :

MA=ME(gt)

MB=MC(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{CME}\left(đđ\right)\)

=> Tg AMB=EMC(c.g.c) (đccm)

b) Do tg AMB=EMC (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{ECM}\)

=> AB//EC

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ECA}=90^o\)

\(\Rightarrow AC\perp CE\left(đccm\right)\)

c) Do tg ABM=CEM (cmt)

\(\Rightarrow AM=MC=\frac{BC}{2}\)

Hay nói cách khác : BC=2AM (đccm)

#H

câu 2 :

a)  Xét tam giác AMB và tam giacsDMC có

   AB = AC (gt)

góc AMB = gocsDMC ( đối đỉnh )

  BM =MC ( vì M là trung điểm ) 

  do đó tam giác AMB = tam giác DMC

b) => góc BAM = góc CDM ( 2 góc tương ứng )

=> AB // CD ( 2 góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

c)  Xét tam giác ABM = tam giác ACM ( c.c.c)

=>góc AMB = góc AMC ( 2 góc tương ứng )

mà góc AMB + AMC = 180^o ( kề bù )

=> AMB = AMC = \(\dfrac{180^o}{2}=90^0\)

=> AM vuông góc với BC