Mình chỉ tạm thời trả lời câu c thôi:

+ Nếu n là số chẵn thì n là số chẵn sẽ chia hết cho 2

suy ra: n.(n+5) sẽ chia hết cho 2                    (1)

+ Nếu n là số lẻ thì n+5 là số chẵn sẽ chia hết cho 2

suy ra: n.(n+5) sẽ chia hết cho 2                   (2)

 Vậy: từ 1 và 2 ta chứng minh rằng tích n.(n+5) luôn luôn chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n

a) ƯCLN(4n+1; 5n+1) = 1

Gọi UCLN(4n+1; 5n+1) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\5n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(4n+1\right)⋮d\\4.\left(5n+1\right)⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}20n+5⋮d\\20n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(20n+5\right)-\left(20n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(4n+1;5n+1\right)=1\)

b) UCLN(2n+1;2n+3) =1

Gọi UCLN(2n+1; 2n+3) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2n+1\right)-\left(2n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2\right\}\)

Nếu d = 2 thì \(2n⋮2\)

Nhưng 3 không chia hết cho 2, Vậy k thoả màn điều kiện chia hết cho d

Nếu d = 1 => Thoả mãn điều kiện chia hết 

=> UCLN(2n+1; 2n+3) = 1

c) n.(n+5) chia hết cho 2 vs mọi n thuộc N

Th1: n là số chẵn

=> n + 5 là số lẻ

=> chẵn . lẻ = chẵn chia hết cho 2

Th2: n là số lẻ

=> n + 5 là số chẵn

=> chẵn . lẻ = chẵn chia hết cho 2

Vậy vs mọi n thuộc N, n(n + 5) chia hết cho 2

THANKS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)

a) n(n + 5) - (n - 3)(n + 2) = n² + 5n - n² - 2n + 3n + 6 = 6n + 6 = 6(n + 1) \(⋮\)6 \(\forall\)x \(\in\)Z

b) (n² + 3n - 1)(n + 2) - n³  + 2 = n³ + 2n² + 3n² + 6n - n - 2 - n³ + 2 = 5n² + 5n = 5n(n + 1) \(⋮\)5 \(\forall\)x \(\in\)Z

c) (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) = 6n² + 30n + n + 5 - 6n² + 3n - 10n + 5 = 24n + 10 = 2(12n + 5) \(⋮\)2 \(\forall\)x \(\in\)Z

d) (2n - 1)(2n + 1) - (4n - 3)(n - 2) - 4 = 4n² - 1 - 4n² + 8n + 3n - 6 - 4 = 11n - 11 = 11(n - 1) \(⋮\)11 \(\forall\)x \(\in\)Z