\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:
\(4\left(x-3\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow4x+3y-15=0\)

b.

\(R=d\left(C;AB\right)=\dfrac{\left|4.6+1.3-15\right|}{\sqrt{4^3+3^2}}=\dfrac{12}{5}\)

Phương trình (C):

\(\left(x-6\right)^2+\left(y-1\right)^2=\dfrac{144}{25}\)

a: Tọa độ trọng tâm là:

x=(1+2+0)/3=1 và y=(3+1+3)/3=7/3

c: \(d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|1\cdot1+3\cdot\left(-1\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

a.

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (3;2) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(3\left(x-2\right)+2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow3x+2y-12=0\)

b.

Gọi G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow G\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

(C) tiếp xúc BC \(\Leftrightarrow d\left(G;BC\right)=R\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{\left|3.\dfrac{7}{3}+2.\dfrac{4}{3}-12\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{7\sqrt{13}}{39}\)

Phương trình: \(\left(x-\dfrac{7}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{49}{117}\)

1.2

a.

\(\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)=2\left(2;-1\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận (1;2) là 1 vtpt

Phương trình đường thẳng AB:

\(1\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x+2y-7=0\)

b.

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(1;3\right)\)

\(AB=\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{5}\) \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{5}\)

Đường tròn đường kính AB có tâm M và bán kính \(R=AM=\sqrt{5}\) nên có pt:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=5\)

1.1

a. \(\overrightarrow{CB}=\left(5;15\right)=5\left(1;3\right)\) ; \(\overrightarrow{CA}=\left(7;11\right)\)

Đường cao qua A vuông góc BC nên nhận (1;3) là 1 vtpt

Phương trình đường cao đi qua A có dạng:

\(1\left(x-4\right)+3\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+3y-13=0\)

Đường cao qua B vuông góc AC nhận (7;11) là 1 vtpt có dạng

\(7\left(x-2\right)+11\left(y-7\right)=0\Leftrightarrow7x+11y-91=0\)

Trực tâm H là giao điểm 2 đường cao nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-13=0\\7x+11y-91=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=13\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(13;0\right)\)

1.1

b.

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp là \(I\left(a;b\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AI}=\left(a-4;b-3\right)\\\overrightarrow{BI}=\left(a-2;b-7\right)\\\overrightarrow{CI}=\left(a+3;b+8\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI^2=\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2\\BI^2=\left(a-2\right)^2+\left(b-7\right)^2\\CI^2=\left(a+3\right)^2+\left(b+8\right)^2\end{matrix}\right.\)

Do I là tâm đường tròn nên: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=BI\\AI=CI\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI^2=BI^2\\AI^2=CI^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=\left(a-2\right)^2+\left(b-7\right)^2\\\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=\left(a+3\right)^2+\left(b+8\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2b+7=0\\7a+11b+24=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I\left(-5;1\right)\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\left(-2;9\right)\Rightarrow R^2=CI^2=\left(-2\right)^2+9^2=85\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2=85\)

a) Viết phương trình tổng quát của AB và tính diện tích tam giác ABC

Phương trình tổng quát của AB là: 3(x - 1) + 2(y - 2) = 0 ⇔ 3x + 2y - 7 = 0

Kẻ CH ⊥ AB, (H ∈ AB)

Diện tích tam giác ABC là:

b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB

Gọi I là trung điểm của AB

Đường tròn đường kính AB là đường tròn tâm I bán kính IA:

a. 

\(\overrightarrow{BC}=\left(-2;-4\right)=-2\left(1;2\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (1;2) là 1 vtcp

Phương trình BC: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+t\\y=4+2t\end{matrix}\right.\)

b.

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\Rightarrow R^2=AB^2=\left(-2\right)^2+1^2=5\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=5\)

c.

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-2.\left(-2\right)+1.\left(-4\right)=0\Rightarrow AB\perp BC\)

\(\Rightarrow H\) trùng B hay tọa độ H là: \(H\left(-1;4\right)\)