bn tìm đề thi hsg tỉnh thanh hóa lớp 9 năm nào đó là thấy

bài này dài,ngại làm

đặt là được

Câu hỏi của Hoàng Gia Anh Vũ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

trong đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2010-2011(đánh lên mạng đi,hình như là bài 5)

Nhớ mang máng câu này hồi trước có giải rồi. Thôi tự vô tìm đi nha

\(T\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)

Đặt \(\left(\sqrt{y^2+z^2};\sqrt{x^2+z^2};\sqrt{x^2+y^2}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b=c=2014\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\\y^2=\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\\z^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow T.2\sqrt{2}\ge\frac{b^2+c^2-a^2}{a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}\)

\(T.2\sqrt{2}\ge\frac{\left(b+c\right)^2}{2a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{2b}+\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-\left(a+b+c\right)\)

\(T.2\sqrt{2}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}-\left(a+b+c\right)=a+b+c=2014\)

\(\Rightarrow T\ge\frac{1007}{\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=...\)

b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz) 

\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky) 

\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)

\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3 

Áp dung BĐT co- si, ta có:

\(y+z\le\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}\)

D đó:   \(\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)

tương tự:   \(\frac{y^2}{z+x}\ge\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}},\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)

\(\Rightarrow T\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)

Đặt  :  \(\sqrt{x^2+y^2}=a;\sqrt{y^2+z^2}=b;\sqrt{x^2+z^2}=c\left(a,b,c>0\right)\)

Khi đó:  \(T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\left(\frac{\left(a+c\right)^2}{2b}-b\right)+\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)+\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2a}-a\right)\right)\)

\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\left(a+c\right)-3b+2\left(a+b\right)-3c+2\left(b+c\right)-3a\right)\)

\(\Rightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2017}{2}}\)

Đặt xong thì suy ra:

\(x^2=\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\)

\(y^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\)

\(z^2=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\)

Phần sau thì thay vào rồi phân h ra thôi

\(\frac{\left(a+c\right)^2}{2b}-b=\frac{\left(a+c\right)^2}{2b}+2b-3b\ge2\left(a+c\right)-3b\left(bđtcô-si\right)\)

\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)

tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)

=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4

Vậy minM=6 khi x=y=z=4

b1: Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+y+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

=>minP=1 <=> x=y=z=2/3