a: \(AI=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

AB=2*AI=16cm

b: ΔOAB cân tại O

mà OI là đường cao

nên OI là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

góc AOM=góc BOM

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

=>góc OBM=90 độ

=>MB là tiêp tuyến của (O)

ΔOAB cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của AB

\(AI=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

AB=2*8=16cm

a: ΔOAB cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI là đường cao và OI là phân giác của \(\widehat{AOB}\)

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OAC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b: I là trung điểm của AB

=>IA=IB=AB/2=12cm

ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(OI^2+12^2=13^2\)

=>\(OI^2=169-144=25\)

=>\(OI=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔOAC vuông tại A có AI là đường cao

nên \(OI\cdot OC=OA^2\)

=>\(OC\cdot5=13^2=169\)

=>OC=33,8(cm)

1) Xét tứ giác CIOH có \(\widehat{CIO}+\widehat{CHO}=180^o\)nên là tứ giác nội tiếp

suy ra 4 điểm C,H,O,I cùng thuộc 1 đường tròn

2) vì OI \(\perp\)AC nên OI là đường trung trực của AC

\(\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{COM}\)

Xét \(\Delta AOM\)và \(\Delta COM\)có :

\(\widehat{AOM}=\widehat{COM}\)( cmt )  

OM ( chung )

OA = OC

\(\Rightarrow\Delta AOM=\Delta COM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=90^o\)

\(\Rightarrow OC\perp MC\)hay MC là tiếp tuyến của đường tròn O

3) Ta có : \(\hept{\begin{cases}\widehat{AOM}+\widehat{IAO}=90^o\\\widehat{IAO}+\widehat{HBC}=90^o\end{cases}}\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{HBC}\)

Xét \(\Delta AOM\)và \(\Delta HCB\)có :

\(\widehat{AOM}=\widehat{HBC}\); \(\widehat{MAO}=\widehat{CHB}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta AOM~\Delta HBC\left(g.g\right)\)

4) Gọi N là giao điểm của BC và AM

Xét \(\Delta NAB\)có AO = OB ; OM // BN nên AM = MN

CH // AN \(\Rightarrow\frac{CK}{NM}=\frac{KH}{AM}\left(=\frac{BK}{BM}\right)\)

Mà AM = NM nên CK = KH 

\(\Rightarrow\)K là trung điểm của CH

Do AB là tiếp tuyến chung của (O) và (I) nên: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IBA}=90^o\\\widehat{OAB}=90^o\end{matrix}\right.\) (tiếp tuyến vuông góc với bán kính) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IB\perp AB\\OA\perp AB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow IB//OA\) (cùng vuông góc với AB) 

\(\Rightarrow ABOI\) là hình thang 

Ta kẻ IE vuông góc với OA tại E 

⇒ IEAB là hình chữ nhật 

⇒ \(IB=AE=2\left(cm\right)\) (cặp cạnh đối của hình chữ nhật) 

\(\Rightarrow OE=OA-AE=8-2=6\left(cm\right)\) 

Mà: \(OI=OC+IC=2+8=10\left(cm\right)\) 

Xét ΔIEO vuông tại E áp dụng định lý Py-ta-go ta có: 

\(IO^2=OE^2+IE^2\)

\(\Leftrightarrow10^2=6^2+IE^2\)

\(\Leftrightarrow IE=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}\)

\(\Leftrightarrow IE=8\left(cm\right)\)

Mà: \(AB=IE=8\left(cm\right)\) (ABIE là hình chữ nhật) 

Diện tích của tứ giác ABOI có AB là đường cao là:

\(S_{ABOI}=\dfrac{\left(IB+OA\right)\cdot AB}{2}=\dfrac{\left(2+8\right)\cdot8}{2}=40\left(cm^2\right)\)