∆ABC có M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
Ta có:
ےAMB = ےNMC (đối đỉnh)
BM = CM (giả thiết)
MA = MN (dựng hình)
Suy ra: ∆MAB = ∆MNC (c.g.c)
Suy ra: NC = AB và ےMBA = ےMCN
Do ےMBA = ےMCN nên AB // NC
Suy ra ےBAC + ےACN = 180
Ta có: ےBAC = 90 nên ےACN = 90
=> ∆ABC = ∆CNA (c.g.c) vì AC là cạnh chung
AB = NC (cmt) và ےBAC = ےACN = 90
=> AN = BC
=> AM = \(\frac{1}{2}BC\)

=>CMT

Ta có: tam giác ABC vuông tại A,M là trung điểm của BC (gt) => AM là đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC

=>AM = 1/2 BC ( trong tam giác vuông, đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền )

Vậy....

vẽ thêm MD song song AH

MH song song AD

Xét tam giác MDA và tam giác AHM có

Góc A1 = góc M2 (so le trong)

Góc A2 = góc M1 ( so le trong)

AM là cạnh chung

\(\Rightarrow\)Tam giác MDA = tam giác AHM (g.c.g)

\(\Rightarrow\)MD = AH (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác MBD và tam giác CMH có

Góc BMD = góc MCH (đồng vị)

Góc D1 = góc H2 (=90)

BM = MC (giả thiết)

\(\Rightarrow\)Tam giác MBD = tam giác CMH (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\)BD = MH ( 2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác BDM và tam giác MHA có

MD = AH ( cmt)

Góc D2 = góc H1 (=90)

BD = MH (cmt)

\(\Rightarrow\)tam giác MBD = tam giác MAH ( c.g.c)

\(\Rightarrow\)BM = AM (2 cạnh tương ứng)

Vì BM = MC và AM = BM

\(\Rightarrow\)AM = MC

Mà BC = BM + MC

\(\Rightarrow\)BC = 2*AM

\(\Rightarrow\)AM = \(\frac{1}{2}\cdot BC\)

Vậy AM = \(\frac{1}{2}\cdot BC\)

a) ∆ABC vuông tại A

M là trung điểm BC

⇒ AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

⇒ AM = BM = CM = BC : 2

b) ∆ABC vuông tại A có ∠C = 30⁰

⇒ ∠B = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰

Do AM = BM (cmt)

⇒ ∆ABM cân tại M

Lại có ∠ABM = ∠B = 60⁰

⇒ ∆ABM đều

⇒ AB = AM = BM = BC : 2

a: Xét ΔBAC có 

MN//AB

nên ⇔MN=6⋅12=3(cm)⇔MN=6⋅12=3(cm)

b: Vì M đối xứng với E qua AC

nên AC là đường trung trực của ME

mà AC cắt ME tại N

nên N là trung điểm của ME

Xét tứ giác AMCE có 
N là trung điểm của đường chéo ME

N là trung điểm của đường chéo AC

Do đó: AMCE là hình bình hành

b: Xét tứ giác ABDC có

AB//DC

AB=DC
DO đó: ABDC là hình bình hành

mà \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABDC là hình chữ nhật

Suy ra: AD=BC

a)

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM=CM (gt)

=>\(\Delta AMC = \Delta AMB\) (hai cạnh góc vuông)

=> AC=AB (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABC cân tại A

b)

Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB)

     MG vuông góc với AC (G thuộc AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGM có:

AM chung

\(\widehat {HAM} = \widehat {GAM}\) (do AM là tia phân giác của góc BAC)

=>\(\Delta AHM = \Delta AGM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

=> HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

BM=CM (giả thiết)

MH=MG(chứng minh trên)

=>\(\Delta BHM = \Delta CGM\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=>\(\widehat {HBM} = \widehat {GCM}\)(2 góc tương ứng)

=>Tam giác ABC cân tại A.

Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MA=MD

Xét tứ giác ACDB có 

M là trung điểm của đường chéo BC

M là trung điểm của đường chéo AD

Do đó: ACDB là hình bình hành

Hình bình hành ACDB có \(\widehat{CAB}=90^0\)

nên ACDB là hình chữ nhật

Suy ra: BC=AD

mà \(AM=\dfrac{1}{2}AD\)

nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)

áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông

=> AN=1/2BC