Chứng minh rằng: Với mọi \(n\in Z\) , \(n\ge2\) thì:
\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}\)
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh rằng với mọi n\(\ge2\)ta có
\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{4}\)
Lời giải:
Xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{n^3}\)
\((n-1)(n+1)=n^2-1< n^2\)
\(\Rightarrow (n-1)n(n+1)< n^3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-1)n(n+1)}>\frac{1}{n^3}\)
Thay $n=2,3,4,.....$. Khi đó ta có:
\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}<\underbrace{ \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n(n+1)}}_{A}(*)\)
Mà:
\(2A=\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+....+\frac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)n(n+1)}\)
\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)}< \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}(**)\)
Từ \((*) ;(**)\Rightarrow \frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{4}\)
Ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng : Với mọi số tự nhiên \(n\ge2\)thì tổng :
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+......+\frac{n^2-1}{n^2}\)không thể là số nguyên
Chứng minh rằng : Với mọi số tự nhiên \(n\ge2\)thì tổng :
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+.....+\frac{n^2-1}{n^2}\)không thể là số nguyên
Bạn tham khảo nhé!Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\ge2\)thì tổng \(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)khong the la số nguyên
Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé!
Đúng 0
Bình luận (0)
Cm:\(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}\)với mọi n \(\in\) z, n\(\ge2\)
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên \(n\ge2\) thì tổng:
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+....+\frac{n^2-1}{n^2}\)không thể là số nguyên.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1 thì:
\(\frac{1}{2}< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\)
Đặt P = ...
* Chứng minh P > 1/2 :
\(P\ge\frac{\left(1+1+1+...+1\right)^2}{n+1+n+2+n+3+...+n+n}\)
Từ \(n+1\) đến \(n+n\) có n số => tổng \(\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\left(n+3\right)+...+\left(n+n\right)\) là:
\(\frac{n\left(n+n+n+1\right)}{2}=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{n^2}{\frac{n\left(3n+1\right)}{2}}=\frac{2n}{3n+1}\)
Mà \(n>1\)\(\Leftrightarrow\)\(4n>3n+1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n}{3n+1}>\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P>\frac{1}{2}\)
* Chứng minh P < 3/4 :
Có: \(\frac{1}{n+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1\right)\)
\(\frac{1}{n+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{1}{n+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)\)
...
\(\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(n.\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}< \frac{3}{4}\) ( do n>1 )
\(\Rightarrow\)\(P< \frac{3}{4}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Với mọi \(n\in N,n\ge2\)
So sánh :
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)với 1
chứng minh với mọi \(n\ge2\)
ta có :
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{n}< n\)