\(B=7-\sqrt{x^2-6x+11}=7-\sqrt{\left(x-3\right)^2+2}\)

Vì \(\sqrt{\left(x-3\right)^2+2}\ge\sqrt{2}\Leftrightarrow B\le7-2=5\)

Vậy \(B_{max}=5\Leftrightarrow x=3\)

\(K=2x^2+2y^2+2xy-6x-6y-13\)

\(K=2x^2+2y^2+2xy-6x-6y-\left(2\cdot3+6\cdot1+1\right)\)

\(K=\left(2x^2+2y^2+2xy-2\cdot3\right)-\left(6x+6y+6\cdot1\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3\right)-6\left(x+y+1\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3\right)-2\cdot3\left(x+y+1\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3\right)-2\cdot\left(3x+3y+3\cdot1\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3-3x-3y-3\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y-3-3\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y-6\right)-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y\right)-2\cdot6-1\)

\(K=2\left(x^2+y^2+xy-3x-3y\right)-13\)

\(K=2\left[\left(-3y+y^2\right)-\left(3x-x^2\right)+xy\right]-13\)

Để \(K\) là \(GTNN\) thì \(2\left[\left(-3y+y^2\right)-\left(3x-x^2\right)+xy\right]\) phải có \(GTNN;\)

Để \(2\left[\left(-3y+y^2\right)-\left(3x-x^2\right)+xy\right]\) là \(GTNN\)( không xét \(x\cdot y\))  thì ta có:

\(-3y+y^2\inℤ\) và phải có \(GTNN\) (1)

\(3x-x^2\inℕ\) và phải có \(GTLN\) (2)

Để thỏa mãn (1) thì \(y\in\left\{1,2\right\}\) (do \(-3\cdot1+1^2=-3\cdot2+2^2\)) và \(x\in\left\{1,2\right\}\) vì lý do tương tự (1).

Nhưng (1) cần càng nhỏ càng tốt và (2) thì ngược lại\(\Rightarrow y=1;x=2\) (chỉ mới là giả thuyết do chưa xét \(x\cdot y\))

Xét với mọi trường hợp:

K trong mọi trường hợp \(x\ne2;y\ne1\)luôn lớn hơn K trong trường hợp \(x=2;y=1\Rightarrow\) chắc chắn \(x=2;y=1\)

Thay \(x\) trong biểu thức của đề bài thành \(1\); \(y\) thành \(2\);giải ra được \(GTNN\) của \(K=\left(-17\right)\)

\(C=x^2+2x+1\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow C=\left(x^2+2x+1\right)+\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow C=\left(x+1\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy \(C_{min}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=-1\)

 \(C=x^2+2x+1\dfrac{1}{2}.\\ C=x^2+2x+1+\dfrac{1}{2}.\\ C=\left(x+1\right)^2+\dfrac{1}{2}.\)

Ta có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\in R.\\ \dfrac{1}{2}>0. \)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+1=0.\Leftrightarrow x=-1.\)

Vậy GTNN của biểu thức C là \(\dfrac{1}{2}\) khi x = -1.

x = 1

\(5-\sqrt{x^2-6x+14}=5-\sqrt{x^2-6x+9+5}=5-\sqrt{\left(x-3\right)^2+5}\le5-\sqrt{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=3

C3 : Ta có ; \(B=\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\) . Nhận xét : \(B\ge0\)

\(\Rightarrow B^2\le16\Rightarrow B\le4\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x\ge4,y\ge3\\\sqrt{x-4}=\sqrt{y-3}\\x+y=15\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}}\)

Vậy B đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại (x;y) = (8;7)

Tìm GTNN và mấy bài tới để từ từ mình làm cho nhé , tại mạng đang chậm...

C4 : Bạn cần thêm điều kiện x là số dương nhé : )

Ta có ; \(A=\frac{2x^2-6x+5}{2x}=x+\frac{5}{2x}-3\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 

\(x+\frac{5}{2x}\ge2\sqrt{x.\frac{5}{2x}}=\sqrt{10}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{5}{2x}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{5}{2}}\)

Vậy Min A = \(\sqrt{10}-3\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{5}{2}}\)

C5 : Bạn cần thêm điều kiện a,b là hằng số nhé :) 

\(P=\frac{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}{x}=\frac{x^2+ax+bx+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}+a+b\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : \(x+\frac{ab}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{ab}{x}}=2\sqrt{ab}\Rightarrow P\ge a+2\sqrt{ab}+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=ab\Leftrightarrow x=ab\) (vì a,b,x > 0)

Vậy .......

Gợi ý: Nhân 2 vào biểu thức rồi tách thành tổng các bình phương \(\rightarrow\) Tìm được giá trị nhỏ nhất của F là -19 tại x = y = 1

Bạn giải chi tiết đc không

Xét:\(2F=4x^2+4y^2+4xy-12x-12y-26\)

\(=\left(4x^2-2.2x.y+y^2\right)-6\left(2x+y\right)+9+3y^2-6y-35\)

\(=\left(2x+y-3\right)^2+3\left(y-1\right)^2-38\ge-38\)

Suy ra \(F\ge-19\)

Đẳng thức xảy ra khi ..(tự xét)

9x²+6x+25= (3x)²+2.3x.1+1-1+25

= (3x+1)²+24

Vì (3x+1)² luôn > hoặc = 0

Nên (3x+1)²+24 luôn > hoặc =24

Vậy GTNN của 9x²+6x+25 bằng 24 khi (3x+1)²=0

                                                              <=> x= \(\frac{-1}{3}\)

^{Câu GTLN bạn làm tương tự câu tìm giá trị nhỏ nhất khác nhau một chút là tìm GTLN thì đặt dấu - ra ngoài}

-x²+2x-12 = - ( x² -2x+1+11)

                = -( x-1)²-11

Vì -(x-1)² luôn < hoặc = 0 => - ( x-1)²-11 <0

Vậy -x²+2x-12 luôn nhỏ hơn 0 với mọi x