Lời giải:
Đặt $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}=t$

Áp dụng TCDTSBN:

$t=\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}$

$\Rightarrow t^n=\left[\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\right]^n(*)$

Lại có:

$\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}....\frac{a_n}{a_{n+1}}=t.t.t....t$

$\Rightarrow \frac{a_1}{a_{n+1}}=t^n(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có:

$\left[\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\right]^n=\frac{a_1}{a_{n+1}}$ (đpcm)

Để chứng minh CMR này, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp khác nhau khi n chia hết cho 4 và khi n không chia hết cho 4. Trường hợp 1: n chia hết cho 4 (n = 4k) Trong trường hợp này, chúng ta có n số a1, a2, a3, ..., an. Ta cần tính giá trị Sn = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + ... + an.a1. Chú ý rằng mỗi số a1, a2, a3, ..., an xuất hiện đúng 2 lần trong Sn. Vì vậy, ta có thể viết lại Sn thành: Sn = (a1.a2 + a3.a4) + (a5.a6 + a7.a8) + ... + (an-1.an + a1.a2) Trong mỗi cặp số (ai.ai+1 + ai+2.ai+3), khi nhân hai số bằng nhau, ta luôn có kết quả là 1. Vì vậy, tổng của mỗi cặp số này sẽ luôn bằng 2. Vậy Sn = 2k = 0 khi và chỉ khi n chia hết cho 4. Trường hợp 2: n không chia hết cho 4 (n = 4k + m, với m = 1, 2, 3) Trong trường hợp này, chúng ta cũng có thể viết lại Sn thành: Sn = (a1.a2 + a3.a4) + (a5.a6 + a7.a8) + ... + (an-1.an + a1.a2) + an.a1 Nhưng lần này, chúng ta còn có thêm một số cuối cùng là an.a1. Xét mỗi cặp số (ai.ai+1 + ai+2.ai+3), khi nhân hai số bằng nhau, ta vẫn có kết quả là 1. Nhưng khi nhân số cuối cùng an.a1 với một số bằng -1, ta có kết quả là -1. Vì vậy, tổng của mỗi cặp số là 2, nhưng khi cộng thêm số cuối cùng an.a1, tổng sẽ có thể là 2 - 1 = 1 hoặc 2 + 1 = 3. Vậy Sn = 1 hoặc 3, không bao giờ bằng 0 khi n không chia hết cho 4. Từ hai trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng Sn = 0 khi và chỉ khi n chia hết cho 4

Để chứng minh CMR này, chúng ta sẽ xét các trường hợp khác nhau khi n chia hết cho 4 và khi n không chia hết cho 4. Trường hợp 1: n chia hết cho 4 (n = 4k) Trong trường hợp này, chúng ta có n số a1, a2, a3, ..., an. Ta cần tính giá trị Sn = a1.a2 a2.a3 a3.a4 ... an.a1. Chú ý rằng mỗi số a1, a2, a3, ..., an xuất hiện đúng 2 lần trong Sn. Vì số bằng 1 hoặc -1, khi nhân hai số bằng nhau, ta luôn có kết quả là 1. Với n chia hết cho 4, ta có số lẻ các cặp số (ai.ai 1 ai 2.ai 3). Trong mỗi cặp này, khi nhân hai số bằng nhau, ta luôn có kết quả là 1. Vì vậy, tổng của mỗi cặp số này sẽ luôn bằng 1. Vậy Sn = 1 + 1 + ... + 1 (n/2 lần) = n/2 = 0 khi và chỉ khi n chia hết cho 4. Trường hợp 2: n không chia hết cho 4 (n = 4k + m, với m = 1, 2, 3) Trong trường hợp này, chúng ta cũng có số lẻ các cặp số (ai.ai 1 ai 2.ai 3). Trong mỗi cặp này, khi nhân hai số bằng nhau, ta luôn có kết quả là 1. Tuy nhiên, chúng ta còn có một số cuối cùng là an.a1. Với mỗi số bằng 1 hoặc -1, khi nhân với -1, ta sẽ đổi dấu của số đó. Vì vậy, tổng của mỗi cặp số là 1, nhưng khi cộng thêm số cuối cùng an.a1, tổng sẽ có thể là 1 - 1 = 0 hoặc 1 + 1 = 2. Vậy Sn = 0 hoặc 2, không bao giờ bằng 0 khi n không chia hết cho 4. Từ hai trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng Sn = 0 khi và chỉ khi n chia hết cho 4.

Ko mất tính tổng quát giả sử \(a_1=\text{max}\left\{a_2;a_3;a_4;a_5\right\}\).

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5\le a_1\left(a_2+a_3+a_4+a_5\right)\)

\(\le\frac{\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

Xảy ra khi có 2 số bằng \(\frac{1}{2}\) và 3 số còn lại bằng 0

help me!

help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!help me!

1) Ta có: \(\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\cdot...\cdot\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\cdot...\cdot\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\cdot...\cdot\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^4-b^4\right)\left(a^4+b^4\right)\cdot...\cdot\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^8-b^8\right)\left(a^8+b^8\right)\left(a^{16}+b^{16}\right)\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^{16}-b^{16}\right)\left(a^{16}+b^{16}\right)\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=\left(a^{32}-b^{32}\right)\left(a^{32}+b^{32}\right)\)

\(=a^{64}-b^{64}\)

Bạn xem hướng dẫn ở đây:

Câu hỏi của Nguyễn Quang Đức - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath