a) 1 + 2 + 3 + ... + n = 231

=> \(\frac{\left(1+n\right).n}{2}=231\)

=> (1 + n).n = 231.2

=> (1 + n).n = 462 = 21.22

=> n = 21

Vậy n = 21

b) 11 + 12 + ... + n = 176

=> \(\frac{11+n}{2}.\left(\frac{n-11}{1}+1\right)=176\)

=> (11 + n).(n - 10) = 176.2

=> (11 + n).(n - 10) = 352 = 32.11

=> n - 10 = 11; 11 + n = 32

=> n = 21

Vậy n = 21

c) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = 169

\(\frac{\left(2n-1+1\right)}{2}.\left(\frac{2n-1-1}{2}+1\right)=169\)

=> \(\frac{2n}{2}.\left(\frac{2n-2}{2}+1\right)=169\)

=> n.(n - 1 + 1) = 169

=> n² = 169 = 13²

Vậy n = 13

a) n=21

b) n=21

c) n=13

$1+3+5+...+(2n+1)=169$

Số các số hạng của tổng đó là:

$[(2n+1)-1]:2+1=n+1$ (số)

Khi đó, tổng các số trên bằng:

$[(2n+1)+1]\cdot (n+1):2=169$

$\Rightarrow (2n+2)(n+1):2=169$

$\Rightarrow 2(n+1)^2:2=169$

$\Rightarrow (n+1)^2=(\pm13)^2$ (1)

Vì \(n\in \mathbb{N^*}\) nên \(n+1>0\) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow n+1=13$

$\Rightarrow n=13-1=12(tm)$

Vậy $n=12$.

\(1+3+5+...+\left(2n+1\right)=169\)

\(\Rightarrow\left[\left(2n+1-1\right):2+1\right]\left(2n+1+1\right):2=169\)

\(\Rightarrow\left(2n:2+1\right)\left(2n+2\right):2=169\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+1\right)=169\) 

\(\Rightarrow\left(n+1\right)^2=169\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)^2=13^2\)

TH1: 

\(\Rightarrow n+1=13\)

\(\Rightarrow n=12\) (thỏa mãn) 

TH2: 

\(\Rightarrow n+1=-13\)

\(\Rightarrow n=-14\) (không thỏa mãn ) 

Số số hạng:

[ (2n - 1) - 1] : 2 + 1 = n (số)

⇒\(\frac{2n.n}{2}=169\)

=> 2n² = 338

=> n² = 338:2

=> n² = 169

=> n² = 13²

=> n = 13

n=12 bạn ạ

Ta có:

\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)

Từ gt \(\Rightarrow n,k\ge2\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1>1;n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{matrix}\right.\) trong đó \(\left\{{}\begin{matrix}r\ge s>0\\r+s=k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)       (1)

Mặt khác:

\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)

\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\) (2)

Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=5\\k=2\end{matrix}\right.\)

Vậy bộ số (n,k,p)=(2,2,5)

\(...\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\).

Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+n-1=p^v\\n^3-n-1=p^u\end{matrix}\right.\left(v,u\in N;v+u=k\right)\).

+) Với n = 2 ta có \(p^k=25=5^2\Leftrightarrow p=5;k=2\) 

+) Với n > 2 ta có \(n^3-n-1>n^2+n-1\Rightarrow v>u\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n-1\right)+n-2⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n+3\right)⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow6⋮n^2+n-1\).

Không tồn tại n > 2 thoả mãn

Vậy...