Giả sử x,y lf những số không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: x2+y2=1
1. CMR: 1\(\le\)x+y\(\le\)2
2.Tìm min và max của : P=\(\sqrt{1+2x}\)+\(\sqrt{1+2y}\)
Giả sử x và y là những số không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện x2+y2=1
a, chứng minh rằng \(1\le x+y\le\sqrt{2}\)
b, Tìm GTLN và GTNN của \(P = {\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}}\)
Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện \(|x-2y|\le\frac{1}{\sqrt{x}}\) và \(|y-2x|\le\frac{1}{\sqrt{y}}\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + 2y
Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Chưngs minh rằng
\(A=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a, ta có \(\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\le3\left(2x+2y+2z\right)=6\)
=> A\(\le\sqrt{6}\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z=1/3
Giả sử x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)>=4\)
Tìm Min
\(P=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\)
\(4\le\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)
\(\Rightarrow2\le\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\Rightarrow x+y\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Trước hết áp dụng BĐT: \(ab\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+1+\sqrt{y}+1\right)^2\)
Mà \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\ge4\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\ge4^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\)
Lại áp dụng tiếp: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Ta được: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\)
Bình phương lên: \(2\left(x+y\right)\ge4\Rightarrow x+y\ge2\)
Phần cuối chắc là hoàn toàn cơ bản rồi
1, cho x, y thay đổi thỏa mãn: x^2+y^2=2
tìm min max của P=2(x^3+y^3)-3xy
2, cho x, y thay đổi thỏa mãn x^2+y^2=1
tìm min max của P=( 2x^2+12xy)/ (1+2xy+2y^2)
1. Đặt x = √2.cosα và y = √2.sinα (với α trên [0,3π/2])
Ta có: P = 4√2(sinα + cosα)(1 - sinαcosα) - 6sinαcosα
Đặt t = sinα + cosα = √2.sin(α + π/4) có |t| ≤ √2, nên sinαcosα = (t^2 - 1)/2
suy ra P = -2√2.t^3 - 3t^2 + 6√2.t + 3.
Đến đây bạn áp dụng P' = 0 rồi xét các gtrị cực trị.
2. Đặt x = cosα và y = sinα (với α trên [0,3π/2])
Biến đổi P = (6sin2α + cos2α + 1) / (3 + sin 2α - cos 2α)
Mặt khác lại có (cos2α)^2 + (sin 2α)^2 = 1.
Ta áp dụng P' = 0 tiếp.
tìm Max và Min của P=\(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\) trong đó x, y là cá số thực không âm thỏa mãn x+y=1
Cho các số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y \(\le\)1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
Theo đề ta suy ra \(y\le1-3x\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\le\sqrt{x\left(1-3x\right)}\)
Ta có \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left(1-3x\right)}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+\left(1-3x\right)}{2}}=\frac{2}{2x}+\frac{2}{-2x+1}\)
\(=2\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{-2x+1}\right)\ge2.\frac{\left(1+1\right)^2}{2x-2x+1}=8\)
Vậy \(A\ge8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=1-3x=y\\\frac{1}{2x}=\frac{1}{-2x+1}\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\frac{1}{4}\)
cho x,y là 2 số thực dương thỏa mãn \(|x-2y|\le\frac{1}{\sqrt{x}}\) và \(|y-2x|\le\frac{1}{\sqrt{y}}\). tìm gtln của P=x2+2y
Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\) Chứng minh: \(\frac{\sqrt{x}}{x^2+y+2y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{y}}{y^2+x+2x\sqrt{y}}\le\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{\sqrt{x}}{x^2+y+2y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{y}}{y^2+x+2x\sqrt{y}}\le\frac{\sqrt{x}}{2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{y}}{2y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)
Có \(2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(VT\le\frac{1}{2}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x^2=y\\y^2=x\\\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\end{cases}\Leftrightarrow x=y}\)
...