a)Gọi UCLN(3n+5;2n+3)=d

Ta có:

[2(3n+5)]-[3(2n+3)] chia hết d

=>[6n+10]-[6n+9] chia hết d

=>1 chia hết d

=>3n+5 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

b)Gọi UCLN(5n+2;7n+3)=d

Ta có:

[5(7n+3)]-[7(5n+2)] chia hết d

=>[35n+15]-[35n+14] chia hết d

=>1 chia hết d

=>5n+2 và 7n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

a) Đề:..........

Gọi d là ƯC của 7n + 10; 5n + 7

=> \(\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(7n+10\right)⋮d\\7.\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{cases}}\)

=> (35n + 50) - (35n + 49) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

Vậy 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Đề:............

Gọi d là ƯC của 2n + 3; 4n + 8

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2.\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

=> (4n + 8) - (4n + 6) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(2)

=> d = {1; 2}

Mà 2n + 3 là số lẻ (không thỏa mãn)

=> 1 chia hết cho d

Vậy 2n + 3 và 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.

gọi UCLN(2n+3, 3n+5) là d 
ta có 2n+5 chia hết cho d => 3(2n+3) chia hết cho d <=> 6n+15 chia hết cho d(1) 
3n+5 chia hết cho d => 2(3n+5) chia hết cho d <=> 6n+14 chia hết cho d(2) 
=> (6n+15) -( 6n+14) chia hết cho d hay 1 chia hết cho d --> 2n+3, 3n+5 ngtố cùng nhau(đpcm)

Gỉa sử n=3=>3n+1=3.3+1=9+1=10

                      4n+2=4.3+2=12+2=14

mà (10,14)=2

=>Vô lí

Bạn xem lại đề nha.

a) gọi UCLN(n+2;n+3)=d

ta có :

n+2 chia hết cho d

n+3 chia hết cho d

=>(n+3)-(n+2) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>UCLN(n+2;n+3)=1

=>nguyên tố cùng nhau

b)

gọi UCLN(2n+3;3n+5)=d

ta có : 2n+3 chia hết cho d =>3(2n+3) chia hết cho d =>6n+9 chia hết cho d

3n+5 chia hết cho d => 2(3n+5) chia hết cho d =>6n+10 chia hết cho d

=>(6n+10)-(6n+9) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>UCLN(2n+3;3n+5)=1

=>nguyên tố cùng nhau

=>ĐPCM

Gọi d = ƯCLN _{( 5n+6 ; n+1 )}

=> \(5n+6⋮d;n+1⋮d\)

=> \(5n+6⋮d;5.\left(n+1\right)⋮d\)

=> \(5n+6⋮d;5n+5⋮d\)

=> \(\left(5n+6\right)-\left(5n+5\right)⋮d\)

=> \(5n+6-5n-5⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> \(d=1\)

=> ƯCLN _{( 5n+6 ; n+1 )}  = 1

=> 5n+6 và n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n ( đpcm )

Vậy bài toán được chứng minh !

              Cbht ❤️

Đặt ƯCLN(5n+6,n+1)=d

Ta có: \(n+1⋮d\Rightarrow5\left(n+1\right)⋮d\)\(\Rightarrow5n+5⋮d\)

                                                       mà: \(5n+6⋮d\)

\(\Rightarrow\left(5n+6\right)-\left(5n+5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)\(\Rightarrow d\in\)Ư(1)

Mà d lớn nhất=> d=1 =>ƯCLN(n+1,5n+6)=1 

=>. n+1 và 5n+6 là 2 số nguyên tố cùng nhau\(\forall n\in Z\)

Gợi ý:

Gọi ƯCNL \('5n+6,n+1'=d\Rightarrow'5n+6'⋮d;'n+1'⋮d\)

Ta có, \(5n+6=5'n+1'+1\) 

Vì \(5'n+1'⋮d\) nên suy ra \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy 5n + 6 và n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n 

a,

Gọi \(d=ƯC\left(n+1;2n+3\right)\) với \(d\in N\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2n+3-2\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow n+1\) và \(2n+3\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(n\in N\)

Các câu sau em biến đổi tương tự

Gọi \(d=ƯC\left(n+3;2n+5\right)\) với \(d\in N\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3⋮d\\2n+5⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\left(n+3\right)-\left(2n+5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy \(n+3\) và \(2n+5\) nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n

Gọi d = ƯCLN(n + 3, 2n + 50 với d ∈ N

⇒⎩⎨⎧​n+3⋮d2n+5⋮d​ $\Rightarrow 2\left(n+3\right)-\left(2n+5\right)⋮d$

$\Rightarrow 1⋮d\Rightarrow d=1$

Vậy $n+3$ và $2n+5$ nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n