a) sửa đề => đường trung trực 
ta có tg ABC cân tại A  
M là trung điểm của BC
=> AM là đường trung trực của BC 
=> AM là đường pg của tg ABC (t/c tg cân ) 
=> gBAM = gCAM hay gEAM  = gFAM 
xét tg AME và tg AMF có 
gEAM  = gFAM (cmt) 
 AM chung 
gAEM = gAFM (=90^o) 
=> tg AME = tgAMF (cạnh huyền góc nhọn ) 
=> ME = MF (2 cạnh t/ư ) 
 

cho mình hỏi là: AM đâu phải là trung điểm đâu  bạn có bị sai đề chỗ đấy không vậy

                                              Bài làm :

a) Xét tam giác BEM và tam giác CFM

Ta có:  BM = MC ( vì M là trung điểm của BC)

           M là góc chung

Do đó : tam giác BEM=CFM( cạnh huyền- góc nhọn)

 b) Bạn ghi chưa hết đề nên mik ko hiểu 

sorry 

Mình xin phép sửa đề:

Cho tam giac ABC cân tại A, M là trung điểm của BC, ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC. Chứng minh ME = MF và AM là đường trung trực của EF.

\(\text {(1)}\)

Xét Tam giác `ABM` và Tam giác `ACM` có:

`AB = AC (\text {Tam giác ABC cân tại A})`

\(\widehat {B}= \widehat {C}(\text {Tam giác ABC cân tại A})\)

`MB = MC (\text {M là trung điểm của BC})`

`=> \text {Tam giác ABM = Tam giác ACM (c-g-c)}`

`->`\(\widehat {BAM}=\widehat {CAM} (\text {2 góc tương ứng})\)

Xét Tam giác `AEM` và Tam giác `AFM` có:

`\text {AM chung}`

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM} (CMT)\)

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM} (=90^0)\)

`=> \text {Tam giác AEM = Tam giác AFM (ch-gn)}`

`-> ME = MF (2 cạnh tương ứng)`

\(\left(2\right)\) 

Gọi `I` là giao điểm của `AM` và `EF`

C1:

Vì Tam giác `AEM =` Tam giác `AFM (\text {Theo CMT})`

`-> AE = AF (\text {2 cạnh tương ứng})`

Xét Tam giác `AEI` và Tam giác `AFI` có:

`AE = AF (CMT)`

\(\widehat{EAI}=\widehat{FAI} (\text {Theo CMT})\)

`\text {AI chung}`

`=> \text {Tam giác AEI = Tam giác AFI (c-g-c)}`

`-> IE = IF (\text {2 cạnh tương ứng})`

`->`\(\widehat{AIE}=\widehat{AIF} (\text {2 góc tương ứng})\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí kề bù

`->`\(\widehat{AIE}+\widehat{AIF}=180^0\)

`->`\(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}=\)`180/2=90^0`

`-> \text {AI} \bot \text {EF}`

\(\text{Ta có: }\left\{{}\begin{matrix}\text{IE = IF }\\\text{AI}\perp\text{EF}\end{matrix}\right.\)

`-> \text {AI là đường trung trực của EF}`

`-> \text {AM là đường trung trực của EF}`

C2 (nếu bạn đã học về tính chất của tam giác cân với các đường Trung Tuyến, Đường Cao, Đường Trung Trực) :

Ta có: 

AM vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến

`*` Theo tính chất của tam giác cân

`-> \text {AM là đường trung trực của EF (đpcm)}`

`@`\(\text{dnammv}\)

Sửa đề: Đường trung tuyến AM

a: Xét ΔBEM vuông tại E và ΔCFM vuông tại F có

MB=MC

góc B=góc C

=>ΔBEM=ΔCFM

b: ΔBEM=ΔCFM

=>BE=CF và ME=MF

AE+EB=AB

AF+FC=AC

mà EB=FC và AB=AC

nên AE=AF

mà ME=MF

nên AM là trung trực của EF

c: Xét ΔABC có AE/AB=AF/AC

nên EF//BC

a: ΔBEM=ΔCFM

b: AM là trung trực của EF

c: EF//BC

a là j ạ

b) ta có tam giác ABC cân

=> \(\widehat{B}=\widehat{C}=180-\widehat{A}\)  (1)

mà AM là trung tuyến => AM cx là phân giác và AM cx là đường cao (t/c tam giác cân)

=>\(\widehat{A1}=\widehat{A2}\)

xét tam giác AEM và tam giác AfM

có AM chung

\(\widehat{E}=\widehat{F}\)=90^o

\(\widehat{A1}=\widehat{A2}\)

=> tam giác AEM =tam giác AFM (CH-GN)

=> AE =AC (2 cạnh tương ứng)

=> tam giác AEF cân ở \(​​\widehat{A}\)

=> \(\widehat{E}=\widehat{F}=180-\widehat{A}\) (2)

từ 1 và 2 =>\(\widehat{E}=\widehat{B}\) mà 2 góc ở vt đồng vị 

=> EF // BC 

mà AM ⊥ BC 

=> EF ⊥ AM

=> AM là trung trực của EF (t/c tam giác cân)

b) Xét ΔEMB vuông tại E và ΔFMC vuông tại F có 

MB=MC(M là trung điểm của BC)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔEMB=ΔFMC(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: ME=MF(hai cạnh tương ứng) và EB=FC(Hai cạnh tương ứng)

Ta có: AE+EB=AB(E nằm giữa A và B)

AF+FC=AC(F nằm giữa A và C)

mà EB=FC(cmt)

và AB=AC(ΔBAC cân tại A)

nên AE=AF

Ta có: AE=AF(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của EF(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: ME=MF(cmt)

nên M nằm trên đường trung trực của EF(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF(Đpcm)

a) xét ΔABM và ΔACM có

góc B = góc C 

AB = AC ( ΔABC cân tại A )

BM=CM ( tính chất các đường của Δ cân từ đỉnh )

=> ΔABM = ΔACM  

b) xét ΔBME và ΔCMF có

góc B bằng góc C 

BM=CM

=> ΔBME=ΔCMF ( cạnh huyền góc nhọn )

=> FM = EM 

=> ΔEMF cân tại M

c) gọi giao của EF và AM là O 

ta có BE = CF => AE=AF

=> ΔAEF cân tại A 

ta có AM là tia phân giác của góc A 

mà O nằm trên AM suy ra AO cũng là tia phân giác của góc A 

ta lại có ΔAEF cân tại A 

suy ra AO vuông góc với EF

suy ra AM vuông góc với EF

xét ΔAEF và ΔABC có 

EF và BC đều cùng vuông góc với AM => EF // BC 

a) Xét ΔABM và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AM chung

BM=CM(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔABM=ΔACM(c-c-c)

b) Xét ΔEMB vuông tại E và ΔFMC vuông tại F có 

BM=CM(M là trung điểm của BC)

\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔEMB=ΔFMC(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: ME=MF(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔEMF có ME=MF(cmt)

nên ΔEMF cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)