Xét hai tam giác vuông \(DAE\) và DCG:

\(\widehat{A}=\widehat{C}=90^0\)

\(AD=CD\) (cạnh hình vuông)

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDG}\) (cùng phụ \(\widehat{CDE}\))

\(\Rightarrow\Delta DAE=\Delta DCG\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow DE=DG\)

\(\Rightarrow\Delta DEG\) cân tại D

a.

Xét hai tam giác vuông ABE và ADH:

\(AD=AB\)

\(\widehat{BAE}=\widehat{DAH}\) (cùng phụ \(\widehat{DAE}\))

\(\Rightarrow\Delta_vABE=\Delta_vADH\) (góc nhọn-cạnh góc vuông) (1)

\(\Rightarrow AH=AE\)

\(\Rightarrow\Delta AHE\) vuông cân tại A

b. Cũng từ (1) ta có \(BE=DH\)

Xét hai tam giác vuông ABE và FDA có:

\(\widehat{BAE}=\widehat{AFD}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\Delta_vABE\sim\Delta_vFDA\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{BE}{AD}\Rightarrow AB.AD=BE.DF\Rightarrow AB^2=HD.DF\) (do AD=AB và BE=HD)

c. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}S_{HAF}=\dfrac{1}{2}AH.AF\\S_{HAF}=\dfrac{1}{2}AD.HF\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AH.AF=AD.HF\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD}=\dfrac{HF}{AH.AF}\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{HF^2}{AH^2.AF^2}=\dfrac{AH^2+AF^2}{AH^2.AF^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\) (do AH=AE theo chứng minh câu a)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{a^2}\) cố định (đpcm)

a: \(\widehat{ADE}+\widehat{EDC}=90^0\)

\(\widehat{KDC}+\widehat{EDC}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{ADE}=\widehat{KDC}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔCDK vuông tại C có

DA=DC

\(\widehat{ADE}=\widehat{KDC}\)

Do đó: ΔADE=ΔCDK

=>DE=DK

Xét ΔDEK có

\(\widehat{EDK}=90^0\)

DE=DK

Do đó: ΔDEK vuông cân tại D

b: Xét ΔDFK vuông tại D có DC là đường cao

nên \(\dfrac{1}{DK^2}+\dfrac{1}{DF^2}=\dfrac{1}{DC^2}\)

=>\(\dfrac{1}{DE^2}+\dfrac{1}{DF^2}=\dfrac{1}{DC^2}\) không đổi

b: góc FAK=góc FCK=90 độ

=>ACFK nội tiếp

=>góc CAF=góc CKF

a: góc AKF=180 độ-góc ACF=180 độ-90 độ-45 độ=45 độ

=>ΔAKF vuông cân tại A