huhu mmn oi

a, ta có : góc CFH=90°; góc HEB=90°(góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)

xét tứ giác AEHF có góc A=gócE=góc F=90°

suy ra AEHF là hcn.

b, vì AEHF là hcn suy ra AEHF nội tiếp suy ra góc AFE=AHE( góc nội tiếp chắn cung AE) (1)

ta lại có: góc AHE=ABH(cùng bù với BAH) (2)

từ 1 và 2 suy ra góc AFE=ABH

mà góc CFE+AFE=180°

suy ra góc CFE+ABH=180°

suy ra BEFC nội tiếp

c, gọi I và K lần lượt là tâm đtròn đường kính HB và HC

gọi O là giao điểm AH và EF

vì AEHF là hcn suy ra OF=OH suy ra tam giác FOH cân tại O

suy ra góc OFH=OHF

vì CFH vuông tại F suy ra KC=KF=KH

suy ra tam giác HKF cân tại K

suy ra góc KFH=KHF

mà góc KHF+FHA=90°

suy ra góc KFH+HFO=90°

suy ra EF là tiếp tuyến của đtròn tâm K

tương tự EF là tiếp tuyến đường tròn tâm I

vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC

a)

1. Ta có : ÐBEH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAEH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù). (1)

ÐCFH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAFH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).(2)

ÐEAF = 90⁰ ( Vì tam giác  ABC vuông tại A) (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)

b)  Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn

=>ÐF₁=ÐH₁ (nội tiếp chắn cung AE) .

Theo giả thiết AH ^BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn  (O₁) và (O₂)     

 => ÐB₁ = ÐH₁ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => ÐB₁= ÐF₁ => ÐEBC+ÐEFC = ÐAFE + ÐEFC màÐAFE + ÐEFC = 180⁰ (vì là hai góc kề bù) => ÐEBC+ÐEFC = 180⁰  mặt khác ÐEBC và ÐEFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.

c)

Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => DIEH cân tại I => ÐE₁ = ÐH₁ .

DO₁EH cân tại O₁ (vì có O₁E vàO₁H cùng là bán kính) => ÐE₂ = ÐH₂.

=> ÐE₁ + ÐE₂ = ÐH₁ + ÐH₂ mà ÐH₁ + ÐH₂ = ÐAHB = 90⁰ => ÐE₁ + ÐE₂ = ÐO₁EF = 90⁰

=> O₁E ^EF .

Chứng minh tương tự ta còng có O₂F ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròndường kính BH và HC.

a)Ta có góc BEH =90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

và góc FHC = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác AFHE , ta có:

góc EAF =90 độ (tam giác ABC vuông tại A)

góc AEH =90 độ (cmt)

góc AFH=90 độ (cmt)

=> tứ giác AFHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b)Gọi I là giao điểm của AH và EF

Ta có: AH=EF (hcn AFHE) (1)

mà 2 đường chéo AH và EF cắt nhau tại I (vẽ thêm)

=>I là trung điểm của AH và EF (2)

từ (1) và (2)=> IE=IH=IA=IF

Ta có: góc IHF =góc ACH (phụ với góc HAC)

mà góc IHF = góc IFH (tam giác IHF cân tại I (IH=IF) )

=>góc ACH = góc IFH (cùng = góc IHF)

mà góc IFH= góc AEF (2 góc so le trong của AE song song HF(cùng vuông góc AC))

=>góc AEF =góc ACH=>tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn

c)Gọi J là tâm của nửa đường tròn đường kính BH

và K là tâm của nửa đường tròn đường kính HC

Ta có: tam giác KFC cân tại K (KF=KC)

=>góc KFC = góc KCF mà góc KCF=góc IFH (cmt)

=>góc KFC =góc IFH (cùng =góc KCF)

mà góc KFC + góc HFK =90 độ (góc HFC =90 độ)

=>góc IFH + góc HFK =90 độ => góc IFK =90 độ

=>EF là tiếp tuyến của nửa (K) (I thuộc EF) (3)

Ta lại có: tam giác JEH cân tại J (JE=JH)

=> góc JEH =góc JHE

mà góc JHE = góc HCF ( 2 góc so le trong của HE song song CA ( cùng vuông góc AB) )

và góc HCF = góc AEF (cmt)

=>góc JEH= góc AEF

mà góc AEF + góc HEF = 90 độ (góc HEA = 90 độ)

=>góc JEH + góc HEF =90 độ => góc JEF = 90 độ

=>EF là tiếp tuyến của nửa (J) (4)

Từ (3) và (4) => EF là tiếp tuyến chung 2 nửa dường tròn dường kính BH và HC

Lời giải:

a.

$\widehat{HEB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn) 

$\widehat{HFC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\widehat{EAF}=90^0$ (gt) 

$\Rightarrow AEHF$ là hcn 

b. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ABH$ vuông tại $H$, đường cao $HE$ ta có:

$AE.AB=AH^2$ 

Tương tự: $AF.AC=AH^2$

$\Rightarrow AE.AB=AF.AC$

$\Rightarrow BEFC$ là tứ giác nội tiếp 

c. Đã cm ở phần b.

Hình vẽ:

a, Ta có : \(\widehat{HEB}=\widehat{HFC}=1v\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

\(\Rightarrow\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=\widehat{EAF}=1v\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b, Gọi O và O' lần lượt là trung điểm của HB và HC .

Ta có O là trung tâm đường tròn đường kính HB và O' là tâm dường tròn đường kính HC

\(\Rightarrow\widehat{HEO}=\widehat{EHO}\)( Tam giác EHO cân)

     \(\widehat{FEH}=\widehat{FHE}\) ( Tam giác IHE cân )

\(\Rightarrow\widehat{FEH}+\widehat{HEO}=\widehat{FHE}+\widehat{EHO}=90^0\Rightarrow OE\perp EF\)

Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Chứng minh tương tự ta có EF là tiếp tuyến của đường tròn (O')

c, Ta có: \(\widehat{EBC}=\widehat{FAH}\)( góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

               \(\widehat{FAH}=\widehat{AFE}\)( Tam giác AIF cân )

\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{AFE}\)mà \(\widehat{AFE}+\widehat{EFC}=2v\)( Kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{EBC}+\widehat{EFC}=2v\)

Vậy tứ giác BCFE nội tiếp.

a. Ta có : ÐBEH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAEH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù). (1)

ÐCFH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAFH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).(2)

ÐEAF = 90⁰ ( Vì tam giác  ABC vuông tại A) (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).

b.Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => DIEH cân tại I => ÐE₁ = ÐH₁ .

DO₁EH cân tại O₁ (vì có O₁E vàO₁H cùng là bán kính) => ÐE₂ = ÐH₂.

=> ÐE₁ + ÐE₂ = ÐH₁ + ÐH₂ mà ÐH₁ + ÐH₂ = ÐAHB = 90⁰ => ÐE₁ + ÐE₂ = ÐO₁EF = 90⁰

=> O₁E ^EF .

Chứng minh tương tự ta còng có O₂F ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn  .

c.  Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn =>ÐF₁=ÐH₁ (nội tiếp chắn cung AE) . Theo giả thiết AH ^BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn  (O₁) và (O₂)     

 => ÐB₁ = ÐH₁ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => ÐB₁= ÐF₁ => ÐEBC+ÐEFC = ÐAFE + ÐEFC màÐAFE + ÐEFC = 180⁰ (vì là hai góc kề bù) => ÐEBC+ÐEFC = 180⁰  mặt khác ÐEBC và ÐEFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.

a: góc HIB=1/2*sđ cung HB=90 độ

=>HI vuông góc AB

góc CKH=1/2*sđ cung CH=90 độ

=>HK vuông góc AC

góc AIH=góc AKH=góc KAI=90 độ

=>AIHK là hình chữ nhật

=>góc AIK=góc AHK=góc C

=>góc KIB+góc KCB=180 độ

=>KIBC nội tiếp

b: góc O1IK=góc O1IH+góc KIH

=góc O1HI+góc KAH

=góc HAC+góc HCA=90 độ

=>IK làtiếp tuyến của (O1)

góc O2KI=góc O2KH+góc IKH

=góc O2HK+góc IAH

=góc HAB+góc HBA=90 độ

=>IK là tiếp tuyến của (O2)